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Inés

Video donde se muestran los diferentes casos de ecuación de recta tangente (tres casos).

Ecuación de la recta tangente

1.2.recta tengente a una función.mp4

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | PCE

Tema 2. La derivada de una función

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Ami y a este vídeo donde vamos a hablar de las rectas tangentes a una función. Estamos aún en la unidad dos en el bloque de derivadas y en este caso, pues eso. Vamos a profundizar sobre la ecuación de la recta tangente. Venga, vamos a por ello. Bien, Pues aquí estamos. Estamos en el tema uno, no? Bueno, en el tema dos, que es la función derivada, pero aún en el punto uno, que es concepto de derivada. Vamos a trabajar ahora la recta tangente de una función en un punto. Claro. Qué nos está preocupando ahora? Nos está preocupando de que tenemos una función y que queremos calcular su recta tangente. La retra tangente es aquella función de primer grado que mejor aproxima la función en un punto. Fijaros que esta recta tangente toca la función en un solo punto y cuando estás muy cerca de él, es la función de primer grado que mejor la aproxima. Venga, vamos a ver de qué manera podemos calcular esta recta tangente utilizando la derivada. Vale. Cómo deducimos la ecuación de la recta tangente? Bien en la ecuación de recta tangente. Hemos de utilizar el concepto de derivada que hemos visto en otros vídeos. Es decir, hemos de deducir a partir de la idea de que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Por tanto, lo que vamos a utilizar es esta idea. Yo tengo una recta tangente, una recta cualquiera y la pendiente de esta recta tangente va a ser la derivada en el punto que estoy mirando. Por tanto, hemos de calcular la derivada de la función y sustituir por este punto. Claro, si yo sé que la pendiente es la derivada en el punto que estoy mirando ya sólo necesito calcular la ordenada de mi recta. Pero claro, cómo calculo la ordenada de mi recta? Claro, Mi recta pasa por el punto de Tang. El punto de Tang es el punto a FDA porque acordaos que la idea es que yo tengo una función y yo tengo en un valor en un valor concreto. La idea es calcular la recta tangente, No? Esta recta tangente tiene una pendiente que será la derivada en el punto, pero yo sé que pasa justamente por este punto. Por tanto, es una condición que puedo imponer a la recta. Si yo sé que pasa por este punto, sustituimos la imagen de a y la A por el valor de X y y de esta manera puedo calcular la ordenada en el origen. La orden en el origen tiene esta expresión. Sólo tengo que sustituirlo todo en mi ecuación de la recta tangente y a partir de aquí fijaros que tengo la expresión de la recta tangente. Esta expresión la puedo simplificar para dejarla un poquito más elegante sería esta que veis aquí. Resumiendo, cuando tengo una función continua en y quiero mirar la recta tangente en un punto Si la función es deriva, la recta tangente tiene esta ecuación vale, y esta ecuación la puedo aplicar siempre que necesite calcular la ecuación de la recta tangente. Venga, vamos a hacer algunos ejemplos para calcular la renta tangente. Vamos a separar en tres casos. El primer caso sería conociendo el punto de Tang. Es decir, conozco el punto de Tang donde se va a hacer la recta tangente. Por tanto, imaginemos que tenemos esta función y que en un punto X igual a menos uno por donde se el punto de Tang, como la fórmula es la que veis en pantalla en la ecuación de la retratan gente. Solo necesito calcular la derivada en el valor menos uno y la función en el valor menos uno. La derivada de esta función veremos más adelante cómo se calculan derivadas. Pero la derivada sería tres x cuadrado menos cuatro, no aplicando las reglas de derivación. Por lo tanto, en el menos uno, la derivada me va a dar menos uno solamente hace falta sustituir. Eso significa que la recta la tangente será menos uno por x uno no X uno porque el punto de Tang es el menos uno más la imagen en el menos uno. Pero la imagen en el menos uno es sustituir la función, no esta función por menos uno. La imagen en el menos uno sería en este caso menos uno uno cero. Sería cuatro. Por tanto sería más cuatro, que es el valor que vemos que vemos aquí. Por tanto, la ecuación de la renta tangente. Si yo simplificó todo, me da esta ecuación de aquí fijaros que si dibujo gráfico de la función que teníamos ahora la red tangente en el valor menos uno. Justamente es la recta tangente que estamos viendo. Es la recta, la función de primer grado que mejor aproxima la función en el valor menos uno. Vale, vayamos con otro ejemplo. Aquí tenemos la función menos X al cuadrado, igual a menos X al cuadrado más tres X y lo que ahora quiero en el X, igual a dos. Fijaos que aquí tengo el gráfico de esta función. Lo que me interesa es en el X, igual a dos dibujar o calcular la ecuación de su recta tangente. La ecuación de la red de tangente de nuevo es F de prima de A por X menos a más F de A. En este caso, la A vale dos, que es el punto de Tang donde estoy mirando. La derivada de esta función sería menos dos x tres. Sí y y por tanto, la derivada en el punto dos sería menos dos por dos tres, es decir, menos uno. Esa sería la derivada. Cuál es la imagen en el dos? La imagen en el dos sería menos dos al cuadrado, más tres por dos. Por lo tanto, menos cuatro. Seis. Dos significa que la recta va a ser la derivada en el punto, por lo tanto, menos uno por x menos dos más la imagen en el punto que sería dos. Es decir, que la recta sería menos X, más dos más dos menos X más cuatro. Esa sería la ecuación de la recta tangente. Significa que esta recta que acabo de dibujar es la recta menos X cuatro. Si yo represento los ejes, aquí estaría el tres. Aquí estaría el cuatro. Justamente sería bueno, pues la recta que acabo de calcular. Vale, vamos con otro caso de recta tangente. Ahora, conociendo la pendiente de una recta paralela, fijaros, no tengo punto de Tang. Prefiero la ecuación de otra recta y quiero la ecuación de la recta tangente que sea paralela. Claro. Aquí tengo una función y tengo una recta cualquiera y necesito calcular la recta tangente que sea paralela a esta recta par. Si tiene que ser paralela, significa que la pendiente tiene que ser igual. Por tanto, necesito calcular la pendiente. La pendiente, en este caso sería menos dos. Por tanto, el punto de Tang, donde quiero mirar mi recta tangente, tiene que cumplir que la derivada en este punto tiene que ser menos dos. Por qué? Porque la derivada en el punto es la pendiente de la recta tangente y esta tiene que ser paralela a la recta que me dan. Por tanto, tiene que tener la misma pendiente. Muy bien. Por lo tanto, en el punto la derivada tiene que ser menos dos. Y este caso, esto este hecho, mejor dicho, lo voy a utilizar para calcular el punto de Tang. Sólo tengo que hacer la derivada de mi función, que es la que veis en pantalla e igualarlo a menos dos. Esto hace que el punto de Tang el valor de Asia, en este caso igual a cuatro. Por tanto, en el punto de Tang que estoy mirando es el punto cuatro, Imagen del cuatro, es decir, cuatro. Nueve. Fijaros que el punto sería el cuatro nueve, que sería este valor de aquí? No, aquí tengo mi recta tangente. Esta recta tangente tiene la pendiente menos dos y solamente tengo que sustituir la imagen de la función en el punto, es decir, la imagen del cuatro. Por tanto, la recta sería menos dos x diecisiete. Efectivamente. La recta que veis de color rojo corta, no en eje de seis en el valor diecisiete. Vale, vayamos con otro ejemplo. Aquí tenemos una función logaritmo de X uno y la recta que la que veis en pantalla. Lo mismo recta, tan gente paralela a esta recta. Evidentemente, en este caso la pendiente tiene que ser igual a dos y por tanto, lo que hago es derivar la función que sería en este caso uno partido por X es la derivada del logaritmo. Esto me da tiene que ser. Tengo que igualar a dos. Por tanto, me dará que la X tiene que ser igual a un medio. Qué significa? Pues que el punto de Tang es el punto de Tang, un medio logaritmo de un medio uno? No si lo expreso de manera exacta. Por tanto, mi ecuación de la red tangente va a ser dos por x menos un medio más la imagen de un medio que sería el logaritmo de un medio uno, es decir, que la recta va a ser dos X menos uno más logaritmo de un medio uno. El uno y el menos uno se simplifican y me queda la retratan gente dos x más logaritmo de un medio. Si representamos esta función, no la función El logaritmo de X uno. Observamos que esta gráfica, la función organismo de X uno más o menos. No es una función que viene así aproximadamente no, esto sería ese sería el uno si fue algoritmo de X, pero cuando lo traslado una y hacia arriba me quedaría aproximadamente este gráfico y paralela a dos x cinco, que es una función que vendría así más o menos, pues me da la recta tangente justamente en este valor. Por lo tanto, esto representa que sería el valor un medio que sería el punto de Tang bien y vayamos al tercer caso en caso de que no se sabe el punto de emergencia ni rectas paralelas, sino un punto exterior. Es decir, vamos a intentar ver qué pasa cuando me dan una función y me dan un punto exterior, en este caso el cero menos cinco punto que no pertenece a la gráfica. Quiero encontrar la recta tangente que pasa por este punto exterior. Bien, la ecuación de la ruta tangente es la que tenemos en pantalla, que es la que vamos a utilizar para encontrar justamente el punto de lagencia. Como sabemos la derivada que sería dos X la derivada en el punto de emergencia sería dos veces a y la imagen en el punto de emergencia sería a cuadrado menos tres. La única condición que tengo es que pasa por el punto cero menos cinco. Por tanto, esto lo tenemos que utilizar para calcular este punto de emergencia. Yo tengo esta ecuación. Si cojo la ecuación de la recta tangente y sustituyo todo, no? Y que pasa por el punto cero menos cinco? Me queda esta ecuación que cuando simplificó me da el valor de menos raíz cuadrada de dos. Esto me permite calcular los puntos de Tang, que en este caso hay dos y por tanto me permite calcular las dos rectas tangentes. Hay dos rectas tangentes a la función que pasan por el punto cero menos cinco. En este caso tiene dos soluciones. Por tanto, encontrar la recta tangente normalmente tiene tres casos cuando tengo el punto de Tang, cuando tengo una recta paralela a la recta que quiero calcular o cuando tengo un punto exterior

En el video de Yuka Ami, se aborda el tema de las rectas tangentes a funciones, específicamente dentro del contexto de derivadas. Se explica que una recta tangente es una línea de primer grado que toca una función en un solo punto y la aproxima mejor en ese área. Para calcular la recta tangente en un punto específico, se utiliza el concepto de derivada, que proporciona la pendiente de esta recta en dicho punto.El proceso para encontrar la ecuación de la recta tangente incluye:1. Calcular la derivada de la función en el punto de interés, que proporciona la pendiente.2. Determinar la ordenada del punto donde la recta tangente toca la función, sustituyendo el valor del punto en la ecuación de la función.Se presentan ejemplos prácticos que ilustran tres casos diferentes:1. **Conociendo el punto de tangencia**: Se calcula la derivada en el punto y se utiliza para formular la ecuación de la recta tangente.2. **Conociendo la pendiente de una recta paralela**: Se busca un punto en la función donde la derivada sea igual a la pendiente de la recta paralela dada.3. **Conociendo un punto exterior**: Se determina la recta tangente que pasa por un punto que no pertenece a la función, lo que puede resultar en múltiples soluciones.En resumen, el video proporciona una guía clara sobre cómo calcular rectas tangentes utilizando derivadas, con ejemplos que abarcan diferentes situaciones.

Cómo calcular la ecuación de la recta tangente a una función usando derivadas

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...