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Polinomios > Raíces de un polinomio

Polinomios > Raíces de un polinomio.mp4

Matemáticas Ciencias Sociales +25

Tema 2. Cálculo y resolución de ecuaciones e inecuaciones

muy buenas en este vídeo. Vamos a repasar esos conceptos de factorización y raíces de polinomio, pero como veis, os he hecho aquí un esquema para relacionarlos bien, porque aquí sobre todo, se trata de entender esas relaciones entre conceptos. No, esto ya os digo, aquí no se entiende nada o se entiende todo, porque es que como las cosas salen unas de otras, si entendemos la relación entre los conceptos claves, es pan comido. Y si no la entendemos, pues entonces estaremos desesperados con esto. Así que voy a ver si este esquema que os he hecho aquí os lo explico bien. Y así entre todos nos podemos enterar. Bueno, el concepto clave es el de raíz de un polinomio. Las raíces de los polinomios son los valores numéricos de la variable, es decir, de la X, que me anulan el propio polinomio. No? Un polinomio será una expresión algebraica que dependa de X. Aquí lo tenéis, P de X. Eso quiere decir una expresión matemática que depende de una variable. La X. Sí, El valor numérico por el que sustituyo la X me anula el polinomio. Es decir, me hace que el valor del polinomio sea cero. Entonces a es raíz. Vale, ese es el concepto clave. Y este concepto de raíces de polinomio tiene mucho interés teórico. Por qué? Principalmente por esto que os voy a explicar ahora. Vale, Bueno, esto estaba, por supuesto, muy relacionado con las ecuaciones. No? Porque, de hecho, la raíz de un polinomio es el valor numérico. Es la solución de el polinomio igual a cero. Vale, que eso es una identidad algebraica. Es decir, una ecuación Vale una ecuación matemática. La solución de P de igual a cero es lo que me da la raíz. Vale? Por eso te lo relacionamos también con las ecuaciones, Por supuesto, Ecuaciones y polinomio tienen mucho, mucho que ver. El interés teórico de las raíces está principalmente en que tenemos restos cero cuando dividimos el polinomio PD X entre X menos A Vale, Nos interesa tener resto cero porque entonces es mucho más fácil factorización. Vale, eso por supuesto, me dará un resultado PD X entre que x menos A me dará otro resultado como una división. Lo vamos a llamar consciente, Vale? O puede ser otro polinomio será de un grado menor que el del polinomio, por ejemplo, si p dex es de grado tres. Pues c dex será de grado dos. Vale, porque estamos dividiendo entre un polinomio de grado uno. Lo bueno que tiene que nos salga ese resto cero en esa división es que la factorización es inmediata. Vale, La factorización del polinomio es muy fácil. El divisor X menos a por el cociente c d x. Y muchas veces nos interesa factor organizar polinomios. Así que la factorización una vez que conocemos las raíces del polinomio es sencilla. Por qué sabemos esto? Bueno, pues cuando tenemos el divisor de quien me he enojado, hay un enunciado matemático que es el teorema del resto, que es el que me asegura de que aquí el resto sea cero. Por lo que dice el teorema del resto es que al dividir un polinomio p dex entre un divisor de la forma X menos una constante, lo vamos a marcar. Vale para generalizarlo, porque puede ser raíz o no puede ser raíz. Cuando hacemos esto, el resultado me dará un cociente y luego un resto cuyo valor va a coincidir con esa constante. Vale. Perdón. El resto va a coincidir con el valor del polinomio. Cuándo sustituimos por esa constante? Repito esto, el resto de la división de P X por X menos K va a ser el valor del polinomio Cuando sustituimos X por K vale valor numérico. Del resto será P. D. K. Qué pasa? Que en las raíces esto se aplica, sean raíces o no, pero en el caso de las raíces P de la raíz aquí hemos llamado a pues PDA será cero. Por lo tanto, el resto de dividir un polinomio entre X menos una raíz de ese polinomio de lo que sería el dividendo será cero patatero. Y entonces eso es lo que me da divisiones de polinomios con restos cero. Y entonces lo que a mí me da la factorización inmediata, no la de X menos a por por el cociente C de X. Y por eso decimos que las raíces me ayudan mucho con la factorización de los polinomios. Es decir, esa es la principal utilidad de las raíces en el caso de los polinomios que polinomios de grado tres de grado cuatro, por supuesto, de otros grados. Pero bueno, son mucho más fáciles de factor organizar si conocemos raíces. Vale, Bueno, recapitulo un poco el esquema este, que es un concepto muy relacionado, pero como veis, sale todo detrás del concepto anterior. La raíz de un polinomio es el valor numérico que me anula el resultado del polinomio. Vale, es decir, la solución de la ecuación del polinomio igualado a cero y gracias al teorema del resto. Me permite factor organizar raíces? Muy fácil. Por qué? Porque el teorema del resto dice que el resultado de dividir un polinomio p de X entre x menos una constante es igual al valor de P al valor numérico del polinomio. Cuando X es igual a K cuando sustituimos por la constante vale, Eso es lo que dice el teorema del resto, pero tiene un interés teórico grande en el caso de que esa constante sea una raíz. Por qué? Porque ese valor numérico era cero y entonces el caso en el que estemos dividiendo entre X menos a X menos una raíz. El resto va a ser cero. Y si el resto es cero, es muy fácil factor organizar polinomio. Por qué? Porque el resultado del polinomio al dividir por X menos a Vale, me sale el cociente y no me sale recto. Acordaos que el divisor de que el dividendo es igual al divisor por cociente el resto gracias al teorema del resto. Yo tengo los casos de divisiones algebraica con resto cero. Vale, y si tengo resto cero, Pues tengo que dividendo, que en este caso vamos a poner p de polinomio, Pues lo puedo factorización muy fácil cuando tengo un dividendo de la forma X menos a por su cociente. Vale por el resultado, ya que me salga de PD X entre x menos A y además, por si fuera poco, y esto no lo he dicho, es muy fácil calcular ese cociente porque aparte de tener el algoritmo de la división, tenemos un método que se llama método de Ruffini, por el cual es muy sencillo dividir entre X menos A Si encontramos las raíces de polinomio va a ser muy fácil encontrar el cociente y encontrar la factorización del polinomio. Así que como resumen, nos gustan las raíces y vamos a buscar las raíces de los polinomios para factor organizar de forma más rápida y de forma más sencilla. Espero que os haya servido este esquema, Ya os digo un poco para relacionar todos los conceptos que tienen que ver con Polinomios y con raíces. Y si tenéis cualquier duda, por supuesto que me la podéis dejar por la plataforma, que os responderé encantado. Sé que esto es un poco teórico, pero vais a ver como en el momento en el que relacionáis los conceptos de la forma correcta, lo vais a entender todo y vais a cerrar el círculo y todo va a tener sentido, así que espero que os haya servido. Nos vemos en otros vídeos. Chao.

El vídeo presenta una explicación detallada sobre la relación entre la factorización y las raíces de polinomios, resaltando la importancia de comprender la interconexión entre estos conceptos matemáticos. El concepto clave es la raíz de un polinomio, que se define como aquel valor numérico que, al sustituirse por la variable (X), anula el polinomio, es decir, lo convierte en cero. Este concepto está estrechamente relacionado con las ecuaciones, ya que la raíz de un polinomio es equivalente a la solución de la ecuación que resulta al igualar el polinomio a cero.El interés teórico de conocer las raíces de un polinomio radica en su utilidad para la factorización. Si al dividir un polinomio P(X) entre (X - A), donde A es una raíz, el resto es cero, esto facilita enormemente la factorización del polinomio, ya que se puede expresar como el producto del divisor (X - A) y el cociente resultante de la división, que será de un grado menor. Este proceso se fundamenta en el teorema del resto, que establece que el resto de dividir un polinomio P(X) por (X - K) será igual al valor del polinomio cuando X es igual a K. En el caso de las raíces, como el polinomio se anula, el resto es cero, permitiendo una factorización directa.Además, se menciona el método de Ruffini como una herramienta práctica para realizar estas divisiones y factorizaciones de manera más sencilla cuando se conocen las raíces del polinomio. En resumen, las raíces de un polinomio son fundamentales para simplificar su factorización, y entender su relación con otros conceptos matemáticos es crucial para el manejo de polinomios en diversos contextos matemáticos. El vídeo subraya la importancia de relacionar correctamente estos conceptos para facilitar su comprensión y aplicación práctica.

Concepto clave: Factorización y raíces de polinomios. Relación entre ecuaciones y polinomios. Teorema del resto para factorizar.

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