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Santi

Explicación de la integral por partes con funciones polinómicas y exponenciales.

Integración por partes (I)

4.1 Integración por partes (I).mp4

Inés

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Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 5. Cálculo de primitivas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Am y a este nuevo vídeo donde vamos a ver el método de integración por partes. Un método que se utiliza muchísimo, sobre todo cuando aparecen integrales donde hay el producto de dos funciones. Veremos que bueno, pues es un método que requiere una cierta deducción inicial, una deducción de una fórmula para poder aplicarlo luego con más comodidad y que vamos a ir dividiendo en diferentes vídeos donde aparecen en el caso de que aparezcan diferentes estructuras. Es decir, diferentes funciones que se estén. Pues bueno, pues aplicándose entre ellas. Veamos el primer caso. Venga, vamos a por ello. Bien, el método de integración por partes lo primero que hacemos es deducir la fórmula general de integración por partes. Vale? En qué consiste la fórmula de integración por partes? Vamos a partir de dos funciones. Suponemos que tenemos dos funciones U y v. Cuando hago la derivada de estas dos funciones, sabemos que la regla del producto nos dice que la derivada del producto es la primera función derivada por la segunda, sin derivar más. La primera sin derivar por la derivada a la segunda. Pero qué pasa? Que la derivada es el cociente de diferenciales. Eso ya lo sabemos. En general, una función derivada a una función es el cociente de dos diferenciales diferencia de diferencial de u entre diferencial de X. Por tanto, tenemos esta expresión que veis en pantalla, claro, aparece un cociente o un coeficiente diferencial de X, no una expresión que está siempre en el denominador en esta igualdad. Por tanto, este denominador se puede simplificar. Es decir, que la expresión que hemos visto anteriormente se puede expresar de esta manera se puede obtener simplemente donde aparezcan diferenciales. Si yo hago integro, integramos estas dos estas dos expresiones integramos estas esta igualdad. Lo que obtenemos es lo que veis en pantalla, no? De hecho, obtenemos que el producto de dos funciones es igual a la integral de V por el diferencial de u más la intel de U por el diferencial de V, o lo que es lo mismo, no si despejamos una en función de la otra. Fijaros que me queda esta expresión de aquí. Esta es la formulita de integración por partes y si os olvidáis de ella, siempre podéis acceder haciendo la demostración que acabáis de ver, es decir, haciendo la derivada del producto de funciones y luego volviendo a integrar cuál es el objetivo? Pues el objetivo es partir de una integral, no que tenemos aquí y conseguir otra integral que sea más fácil que la primera, que es la que tenéis aquí para poder ir avanzando en el proceso. Para acordarnos de la fórmula hay una frase muy famosa de que ya tiene muchos años, que es la siguiente Un día vi una vaca vestida de uniforme. La podéis utilizar, aunque simplemente la recomiendo como caso extremo de que no entendáis o no. Ya os acordáis de la fórmula, porque fijaros que cada una de las letras, cada una de las iniciales de esas palabras, se asigna a uno de los conceptos. Un día vi una vaca vestida de uniforme. Me puede servir para aprenderme esta formulita de integración por partes, pero lo más recomendable es que entendáis muy bien, no? Cuáles son los elementos de de esta fórmula para luego aplicarla en cada caso? Vale. Por tanto, resumiendo qué es lo que necesitamos, tenemos una integral donde aparecerá una función u y una función que va a ser diferencial de V. La función u la voy a tener que derivar y por donde voy a tener que calcular la diferencial y la función diferencial de V, que es la que toma el diferencial de X que aparece en la función es la que voy a tener que integrar. Es decir, que cuando yo tengo la integral, por ejemplo, X por elevado a X diferencial de X, si yo tomo esta integral como diferencial de V, por ejemplo, pues este diferencial de X está incluido dentro del diferencial de V. Por lo tanto, esa va a ser la que voy a tener que integrar. En cambio, la otra función en este caso, por ejemplo, podría ser X, pues esa es la que voy a tener que derivar, es decir, que una la derivo y la otra la integro para poder aplicar la fórmula de integración por partes. Vale, vayamos a hacer algunos ejemplos. En primer lugar, vamos a ver qué pasa cuando tengo funciones polinomios y funciones exponenciales. Es decir, aquí tenéis dos funciones una que es un polinomio y la otra, que es una exponencial. Vale, Cuando tenemos esta situación siempre hay que escoger una U y la otra diferencial de V. Cuáles escogemos? Bueno, pues en este caso la función U va a ser el polinomio y el diferencial de V va a ser la X por el diferencial de X Vale, cuando la US es X, eso significa que el diferencial de U va a ser seis por el diferencial de X. Por tanto, voy a tener que una derivar y la otra integral, si esta lay tengo que integrar V como es una exponencial, va a quedar ella misma. Por tanto, si ahora aplico la fórmula de integración por partes, fijaros que tengo que hacer u multiplicado por v, es decir seis X por elevado X menos diferencial de U multiplicado por v, por tanto, seis x l x por seis simplemente es aplicando la formulita de la integración por partes. Es decir, que me queda seis x y a la X menos seis e a la X más constante. Porque esta integral de aquí es seis veces e a la X y ha hecho la A integral que tenía al principio una integral donde aparece la multiplicación de dos funciones. Se ha aplicado partes y me ha dado el resultado. Venga, vayamos a otro ejemplo. Fijaros que aquí vuelvo a tener un polinomio por una exponencial de nuevo la U va a ser siempre el polinomio y el diferencial va a ser la exponencial. Fijaos que en este caso, si la U es el polinomio diferencial de U va a ser dos x diferencial de X y si la V es la exponencial, el diferencial de V es la exponencial. La integral será dos x partido por logaritmo de dos de palomo de dos. Por tanto, qué me queda? Me queda u por v, es decir, x al cuadrado por dos a la X entre el logo de dos menos diferencial de U por V, es decir, integral d dos x por dos para X entre el logaritmo d dos vale que he conseguido. Bueno, he conseguido lo siguiente esto ya está integrado, por tanto, lo dejo igual, pero aquí he conseguido que tener una integral X por dos a la X diferencial de X, es decir, una integral que es más sencilla porque el grado ahora es uno el de polinomio. Aquí el grado era dos, pero aquí el grado es uno. Por tanto, puedo volver a hacer partes. Es decir, si vuelvo a hacer partes, fijaros que yo tendré aquí tendré la U será X. Por tanto diferencial de U será el diferencial de X Y si el diferencial de V es dos a la X diferencial de X de nuevo V va a ser dos a la X entre el algoritmo de dos hago la misma elección que he hecho al principio. Por tanto, me quedará una expresión que ya tengo, ya tengo integrada, por lo tanto, esto no tengo que hacer nada menos dos partido por loma de dos que ahora multiplica a una expresión de interacción por partes. Por lo tanto, tendría que coger u por V de nuevo, es decir, X por dos a la X partido por Arima de dos menos integral de D de U por V, que es dos a la X partido por amo de dos Diferencial de X. Eso está multiplicado todo por dos partido por organismo de dos. Vale, cómo lo que hago? Bueno, pues ya estoy prácticamente al final, porque ahora fijaros que esta expresión queda igual, menos cuando yo multiplico dos partido por Logan de dos por este paréntesis, Pues me queda. Qué me queda? Me queda dos por x por dos a la X Partido por logaritmo al cuadrado de dos menos. Y ahora esta expresión de aquí un partido por logaritmo de dos puede salir fuera y me queda uno partido por logaritmo de dos por dos a la X entre el logaritmo de dos. No, esa será la integral. Por tanto, como tengo que multiplicar por este factor, pues me va a quedar menos dos por dos a la X partido por un organismo al cubo de dos más constante. Bueno, menos, no más, porque es menos por menos. Hemos de tener cuidado ahí cuando algo tengo que hacer partes dos veces, que normalmente pasa esta expresión. Por lo tanto, tengo la integral ya calculada. Fijaros que esta integral ya no es tan fácil, porque tengo que ir haciendo partes y aparecen coeficientes como el organismo de dos que tengo que ir arrastrando. Es como una constante, pero bueno, que en este caso puede complicar el cálculo. Vale, vayamos con otro ejemplo. Volvemos a tener un polinomio por una exponencial. En este caso el polinomio es dos x uno y la V dos x uno y el diferencial vuelve a ser cinco a la X. Siempre hemos de hacer esta elección cuando aparecen funciones polinomios y funciones exponenciales por tanto, el diferencial será dos Diferencial de X es la derivada y V será cinco la X partido por logaritmo de cinco, es decir, u por v, es decir dos x uno por cinco la X entre el organismo de cinco menos diferencial de U por V, Es decir, diferencia de X no vale. Por tanto me quedará. Me quedará esto lo dejo así. Ya me quedará dos x uno por cinco La X entre el algoritmo de cinco menos el dos partido por logaritmo de cinco puede salir fuera de la integral y la integral de cinco a la X es cinco a la X partido por lo ánimo de cinco. Por tanto, dos x uno por cinco a de X entre el algoritmo de cinco menos dos cinco a la X por tiempo logaritmo al cuadrado de cinco más constante. Así que podría, por ejemplo, un cinco a la X logaritmo de cinco Sacarlo factor común. Bueno, podría expresarlo de otra manera, pero bueno, también el resultado final lo puedo dejar también. De esta forma aplico integración por partes. Siempre uno es un la función u otro diferencial de V. Y tengo que estar siempre uno a la derivo la otra integro e ir aplicando siempre la misma fórmula

En el vídeo de Yuka Am se presenta el método de integración por partes, una técnica fundamental para resolver integrales que involucran el producto de dos funciones. El proceso comienza con la deducción de la fórmula general de integración por partes, que se basa en la regla del producto de la derivada. Para aplicar esta técnica, se seleccionan dos funciones: una llamada "u", que se derivará, y otra llamada "diferencial de V", que se integrará. La fórmula resultante permite transformar una integral complicada en otra más sencilla. Se recomienda recordar la fórmula mediante la frase mnemotécnica "Un día vi una vaca vestida de uniforme".El vídeo incluye ejemplos prácticos que demuestran cómo aplicar el método con diferentes combinaciones de funciones, como polinomios y exponenciales. En cada caso, se elige adecuadamente qué función se derivará y cuál se integrará, mostrando el proceso paso a paso. A lo largo de los ejemplos, se enfatiza la importancia de entender bien cada componente de la fórmula para facilitar su aplicación en futuras integrales.

Introducción al método de integración por partes y su aplicación en ejemplos prácticos

Resumen con marca de tiempo

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