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Santi

Explicación de la integral por partes con funciones polinómicas y logarítmicas.

Integración por partes (III)

4.3 Integración por partes (III).mp4

Inés

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Matemáticas II | Selectividad

Tema 5. Cálculo de primitivas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Demy y a este nuevo vídeo donde vamos a seguir viendo el método de integración por partes. En este caso, vamos a enfrentar de nuevo una función polinomio y una función logarítmica para ver exactamente cómo hacemos, digamos, cómo escogemos, cuál es nuestra función u y cuál es nuestra función diferencial de V. Venga, vamos a por ello. Bien, pues tenemos estamos en en el cuatro en método de integración por partes y en este caso, como hemos dicho, vamos a enfrentar funciones polinomios y funciones logarítmica. Es decir, que yo tengo una función, una integral donde aparece un producto de una función poli nomi y una logarítmica. Qué problema tenemos en este caso? En otros vídeos hemos visto que la función poli Nomi siempre es la función U porque al derivarla el grado va disminuyendo, pero en este caso tenemos el problema que la función logarítmica no la podemos integrar. Claro, si yo tuviera integral del organismo de X la integral del organismo de X, no sé cuál es, no tendré que utilizar otro método. Bueno, en este caso también tendría que utilizar integración por partes para poderla resolver, pero no puedo asignar la logarítmica a la diferencial de V, sino que tenemos que hacerlo al revés. Es decir, que en este caso el polinomio os tomará será la diferencial de V y el logaritmo será la función V por la función U. Por tanto, hemos de tenerlo siempre presente. Cuando hacemos asignamos no estas dos funciones. En el caso del polinomio por el logaritmo. Venga, vamos directamente a ver ejemplos. En este caso tenemos un polinomio que es al cuadrado y una función logarítmica logaritmo de X. Pues lo que hacemos es que la función U va a ser nuestro logaritmo de X y la función diferencial de V va a ser X al cuadrado por el diferencial de X. Por tanto, el diferencial de U va a ser uno partido por X diferencial de X y V va a ser X al cubo partido por tres. Qué ocurre? Pues ocurre que cuando hacemos esta integral tendremos integral de U por V no, es decir, X al cubo partido por tres por el logaritmo de X menos integral. Eso es el X al cubo integral de diferencial de U por V. Por tanto, uno partido por X por X al cubo partido por tres diferencial de X. Es decir, que lo que me queda es X al cubo entre tres el orgasmo de X menos y hay que fijaros que una X se simplifica y por tanto me queda un tercio integral de X al cuadrado. Esta integral ya es inmediata y por tanto, lo que me queda es esta integral que veis en pantalla X al cubo partido por tres y por tanto me va a quedar X al cubo partido por tres logaritmo de X menos x al cubo partido por nueve más constante. Es decir, cuando tengo un polinomio y una función logarítmica, el polinomio va a ser el diferencial y el logarítmica siempre va a ser la función que tengo que derivar. Venga, vayamos con otro ejemplo. Aquí voy a tener un polinomio por una función logarítmica en la U va a ser el logaritmo, en este caso el logaritmo de X menos dos y el diferencial de V va a ser X al cubo por el diferencial de X. Eso significa que el diferencial de U va a ser uno partido por X menos dos y la V va a ser X a la cuatro partido por cuatro. Vale, Qué ocurre? Pues cuando tengo que hacer la alteración por partes como siempre, tengo que multiplicar U por v. Por lo tanto, X a la cuatro entre cuatro por logaritmo de X menos dos menos diferencial de U por v tendré integral de X a la cuatro partido por cuatro por uno partido por X menos dos diferencial de X Es decir, que me queda X a cuatro partido por cuatro. No me queda de momento esta integral logaritmo de X menos dos menos un cuarto integral de X a la cuatro partido por x menos dos. Claro, hemos obtenido una integral más sencilla que la que teníamos porque esta integral Para resolverla, tengo que hacer la división. Tengo que dividir x a la cuatro entre X menos dos esta división. Pues siendo polinomios la puedo hacer por Ruffini. Es decir, puedo coger coeficiente de cuatro tres dos uno cero y dividir por X menos dos. Por donde puedo poner un dos aquí y obtengo esta división. Fijaros que este dieciseis va a ser el resto Y esta expresión de aquí me va a aparecer. Me va a salir el cociente X a tres más dos x al cuadrado más cuatro x más ocho. Qué significa? Bueno, significa que para poder hacer esta segunda integral que tengo, no tengo que separar entre cociente más resto partido por el el divisor. Por tanto, lo que tengo es lo siguiente Fijaros, tengo igual una expresión X a la cuatro partido por cuatro por logaritmo de X menos dos. Esto ya está integrado. Menos un cuarto por por qué? Vale, pues por la integral de X a la cuatro entre X menos dos. Pero esto lo tengo que separar como la integral del cociente. No, el cociente es X a tres X a tres más dos x al cuadrado, cuatro x ocho más integral del resto, que es dieciséis partido por el divisor que es X dos. Es decir, fijaros la segunda parte que es una integral para poderla integrar bien, tengo que hacer la división que en este caso que puedo hacer por Ruffini y separar entre cociente más resto partido por divisor. Por tanto, aquí tengo X a cuatro partido por cuatro logaritmo de X menos dos menos un cuarto. Y ahora ya puedo integrar cada una de estas expresiones porque son integradas inmediatas. Será un cuarto por X a la cuatro entre cuatro más un cuarto por dos x a la tres entre tres, es decir, un cuarto por dos x a la tres entre tres más un cuarto por cuatro x decir un cuarto por cuatro x dos entre dos más un cuarto por ocho x más un cuarto por está re integral. Dieciseis entre X menos dos por el dieciseis puede salir fuera, por tanto, será menos, no. Bueno, de hecho, esto será todo menos vale todo será menos porque hay al menos aquí vale que esta multiplicando todas las expresiones. Por lo tanto, todo esto va a ser menos, menos cuatro por el logaritmo de X menos dos. Más constante, porque la integral de uno partido por X menos dos es el logaritmo total que me queda X a la cuatro partido por cuatro logaritmo de X menos dos menos X a cuatro Partido por dieciséis menos X a la tres partido por seis menos Este cuatro fuera X a la dos partido por dos menos dos X menos cuatro logaritmo de X menos dos más constante. Fijaros qué integral me ha quedado. No, nada fácil, aunque parecía más fácil, pues no ha salido tan sencilla porque aunque he hecho integración por partes, luego he tenido que aplicar un método de descomposición para poder realmente acabar mi integral. Vale, pues vayamos con esta otra a ver qué es lo que ocurre aquí. Volvemos a tener una función poli Nomi y una función logarítmica. Tenemos, por un lado, que la función U va a ser el logaritmo de base diez cuatro x menos uno y de la derivada va a ser X diferencial de X. El diferencial de U va a ser esta función, Por tanto, el diferencial de u va a ser la derivada, es decir, uno partido por cuatro x menos uno por eh por el logaritmo de diez. Por eso es la derivada del logaritmo de base diez por la derivada de cuatro x menos uno, que es un cuatro. Por lo tanto, el cuatro va arriba diferencial de X y en este caso el V va a ser X al cuadrado. Partido por dos X al cuatro partido por dos. Muy bien, qué es lo que me queda? Me queda u por V, Por tanto, me quedará X al cuadrado Partido por dos logaritmo de base diez de cuatro x menos uno menos la integral diferencial de U no, que es cuatro partidos por Logan de diez de cuatro x menos uno por V que es X al cuadrado. Partido por dos diferencial de X. Es decir, fijaros qué es lo que me queda. Lo voy a poner aquí bajo. Me queda X al cuadrado partido por dos logaritmo de cuatro x menos uno menos. No? Si simplificó este dos con este cuatro se queda un dos simplificó. Queda dos partido por logaritmo de diez integral de X al cuadrado. Partido por cuatro x menos uno diferencial de X. Claro. Qué ocurre? Que la primera integral que teníamos no era la integración por partes. Pero ahora lo que tengo que hacer es integrar, hacer esta integral que es una integral, como antes. No tengo que descomponer en dos partes. Lo que voy a hacer ahora es integrar esta función. Bueno, esta expresión, por tanto, lo voy a hacer aquí. Integral el X al cuadrado, Partido cuatro x menos uno. Vale, voy a hacer esta integral parte y luego ya pondré el resultado final. Para hacer esta integral de nuevo tengo que hacer la división. Es decir, tengo que dividir este polinomio entre cuatro x menos uno. En este caso sería un cuarto por X. Por tanto, sería X al cuadrado, menos un cuarto por X. Por lo tanto sería fuera un cuarto por X y ahora más para que me dé un cuarto. Tengo que hacer un partido por dieciseis, es decir, un cuarto por X menos uno partido por dieciseis. Entonces, ya positivo fuera, me daría uno partido por dieciseis. Que significa? Pues significa que esta integral va a ser la integral del cociente, es decir, un cuarto por X más uno partido por dieciséis, más integral del resto, que es un perdido por dieciséis dividido por el divisor cuatro x menos uno. Es decir, que tendré un cuarto por X al cuadrado partido por dos más uno partido por dieciseis por x más uno. A partir por dieciséis por eh el logaritmo. Bueno, el logaritmo no, porque si saco un partido por dieciséis, necesito un cuatro y por tanto dividir por cuatro. Es decir, que eso sería sesenta y cuatro. Un partido por sesenta y cuatro por el logaritmo de cuatro X menos uno más constante. Es decir, que X al cuadrado partido por ocho X partido por dieciseis, más logaritmo de cuatro x menos uno partido por sesenta y cuatro. Esta expresión de aquí es la misma que esta expresión de aquí es la integral. Por tanto, la tengo que coger toda esta expresión y ponerla en el resultado que teníamos anteriormente. Es decir, me vengo aquí y así acabamos ya el octavo final, ese sería X al cuadrado, partido por dos logaritmo de cuatro x menos uno menos dos partido por Logan de diez. Y aquí tengo que poner el valor de esta integral que es X al cuadrado a partido por ocho X partido por dieciseis, más logaritmo de cuatro x menos uno partido por sesenta y cuatro. Vale, sí, exacto. Más constante. Fijaros que me quedaría esta expresión de aquí, no? Que sería el resultado final de esa integral. Nada sencillo, porque cuando aparecen logaritmos de base diez, pues evidentemente las derivaciones integrales siempre son más complejas porque aparecen las constantes del logaritmo, pero en todo caso polinomio por logaritmo. El logaritmo siempre es la función u el polinomio siempre es la función diferencial de v

El vídeo de Yuka Demy se centra en el método de integración por partes, específicamente en la integración de funciones polinómicas en combinación con funciones logarítmicas. 1. **Introducción al Método**: El presentador introduce el método de integración por partes y menciona que se enfrentará a un polinomio y una función logarítmica. Se señala que, a diferencia de otros casos donde el polinomio es usualmente la función U, aquí el logaritmo debe ser U, debido a que su integración es más complicada.2. **Asignación de Funciones**: Se explica que, en este método, la función logarítmica se asigna como U, mientras que el polinomio es la diferencial de V. Esto es crucial para resolver correctamente la integral.3. **Ejemplos Prácticos**: Se presentan varios ejemplos:   - En el primer ejemplo, se integra una función polinómica \(x^2\) multiplicada por el logaritmo de \(x\). Se realiza la integración por partes y se simplifican los términos resultantes.   - En el segundo ejemplo, se utiliza un polinomio \(x^3\) y el logaritmo de \(x - 2\). Se detalla el proceso de división de polinomios y se realizan pasos adicionales para llegar a la solución de la integral.   - El tercer ejemplo involucra el logaritmo de \(4x - 1\) y se discute la necesidad de dividir el polinomio para resolver la integral resultante.4. **Conclusiones**: Se enfatiza que al trabajar con integrales que involucran polinomios y funciones logarítmicas, el polinomio se debe considerar como la diferencial de V, y el logaritmo como la función U. Además, se destaca la complejidad que puede surgir al integrar estas combinaciones, especialmente con logaritmos de bases diferentes.El vídeo proporciona una guía detallada sobre cómo abordar estas integrales, resaltando la importancia de la correcta asignación de funciones y el uso de métodos adicionales como la división de polinomios.

Método de integración por partes: funciones polinómicas y logarítmicas explicadas

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