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Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales > Método de Gauss

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales > Método de Gauss.mp4

Matemáticas Ciencias Sociales +25

Tema 2. Cálculo y resolución de ecuaciones e inecuaciones

muy buenas. En este vídeo vamos a aprender el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones, en este caso, sistemas de tres ecuaciones. El método de Gault consiste en ir jugando con las ecuaciones que tenemos dentro del sistema de ecuaciones hasta que tenemos una escalera. De hecho, yo lo llamo el método de la escalera y ahora vais a ver porque se trata de hacer una escalera en la que el primer, la primera de las ecuaciones, tenga las tres incógnitas. La segunda sólo tenga dos y la tercera sólo tenga una. Qué quiere decir eso? Es un método en el que jugando con las ecuaciones, todo lo que caiga por debajo de la escalera que hemos pintado lo vamos eliminando poco a poco. Ahora veréis cómo y lo que esté por encima de la escalera lo dejamos tal cual, de tal forma de que en la última ecuación nos salga una ecuación con una incógnita. La segunda sea con dos incógnitas y la tercera con tres incógnitas, de tal forma que lo podamos resolver. Cuando tengamos una ecuación con una incógnita resolveremos esa incógnita y entonces la de dos incógnitas ya sólo tendremos una. Por lo tanto, podremos hallar la otra. Y cuando tengamos esas dos incógnitas, la primera ecuación con tres incógnitas tendremos tendremos ya dos. Entonces sólo tendremos una incógnita y podremos resolver la las tres incógnitas y por tanto, habremos resuelto el sistema de ecuaciones. Para ello, lo que hay que hacer es multiplicar, sumar o dividir o restar ecuaciones para que lo que salga por debajo de la escalera salga como cero. Ya sabéis que con los sistemas de ecuaciones podemos jugar. De hecho, el método de reducción de sistemas de ecuaciones que lo veíamos, sobre todo con la dos por dos, es bastante parecido. No? Por no decir que es el método de Gabo. Así que lo que hay que hacer es eliminar ese tres x s, esas dos X y ese menos dos para ello. La primera ecuación está bien. Vale, O sea, es decir, todo sale por debajo de la por encima de la escalera. Por lo tanto, no tenemos ninguna necesidad de quitar ningún término ahí. Pero sí vamos a jugar con esa primera ecuación para eliminar el dos X. Cómo la primera ecuación? Lo que os acabo de decir vale, está muy bien. Y si yo la multiplico por dos tendremos un dos X y como en la segunda tengo el dos X que quiero eliminar. Pues lo que vamos a hacer es que en la segunda ecuación, en vez de poner dos x menos ima z igual a nueve, vamos a poner el resultado de la segunda ecuación de antes. Segunda ecuación, menos dos veces por la primera. Eso es lo que vamos a hacer en la segunda ecuación del sistema. Es decir, dos x menos dos por X y Z igual a dos. Y eso es lo que haremos. Vale, De hecho, en este caso lo voy a poner entero. Vale, dos X. La primera ecuación que pongo aquí es la que en el sistema es la segunda, o sea, dos x menos y ma z igual a nueve, y le restamos dos veces la primera, es decir, dos veces el X y Z igual a dos. Vale, entonces nos queda dos x menos dos x cero x. Vale, este era el término que quería quitar. Así que ya me lo ya me lo he cargado menos Im menos dos por I sale menos tres y pues este el resultado es menos tres y evidentemente cambia también el resto de de coeficientes de las otras incógnitas de la y de la Z y del independiente. La Z menos dos veces la Z sale menos Z y por último, el nueve menos dos por dos sale nueve menos cuatro. Cinco. Vale, Esta sería la segunda ecuación. La segunda ecuación en el nuevo sistema de ecuaciones. Para la tercera vamos a hacer lo mismo. Pero claro, aquí no podemos quitar los dos términos directamente, no al mismo tiempo. Entonces vamos a quitar primero el término de la X y luego ya quitaremos el término de la E. Para ello, cómo quitamos el término de la X? Pues si teníamos antes dos X multiplicándose dos veces la primera. Pues en este caso haremos la tercera menos tres veces. Por la primera buscamos que se vaya el tres X. Entonces, en la primera ecuación, aquí tengo la X. Pues si yo lo multiplico por tres, tendré ese tres X que necesito restarle a tres X. Lo voy a hacer también aquí abajo. Primero, tres X menos dos y menos z igual a doce menos tres veces la primera, menos tres veces por X más y más z igual a dos tres x menos tres X Ya hemos dicho que se iba menos dos y menos tres y me sale menos cinco y y en la siguiente tenemos menos Z menos tres z, es decir, menos cuatro z. No me he equivocado, verdad? Menos Z menos trece. Bien, y doce menos tres por dos es doce menos seis, es decir, seis. Vamos a comprobar si tenemos lo que buscábamos. Queríamos que todo lo que estuviese debajo de esta escalera fuese cero, así que hasta aquí vamos. Perfecto. Y sólo me falta eliminar y digo eliminar entre comillas. S menos cincuenta. Pues ya hemos quitado las X que nos molestaban, por así decirlo. Así que vamos a quitar ese menos cinco y por supuesto, de la misma forma. En este caso, jugaremos con el menos tres y menos z igual a cinco con la segunda ecuación, Por supuesto, si opero con X más y más z nos va a volver a aparecer la X. Entonces no nos interesa. Así que lo que vamos a hacer es que la segunda ecuación, la primera, por supuesto, la vamos a dejar igual. Vale, vamos a ponernos de color negro. Que no nos salten los ojos vamos a poner esas dos ecuaciones primeras del sistema. Las vamos a poner ya y así sólo nos queda una bueno, X I z esto hemos dicho que se queda igual, igual a dos. El menos tres i menos. Z también queda igual a A cinco. Y ahora queremos quitar ese menos cinco. Y para ello lo que vamos a hacer es una Está multiplicada por por menos tres y la otra por menos cinco. Pues una la multiplico por cinco y otra la multiplico por tres. Y así tengo en ambos casos quince, quince y menos quince. Pues vamos a hacer cinco veces la segunda. Cinco veces la segunda ecuación, menos tres veces. La primera perdón, La de la tercera no es cinco veces. La segunda tendremos menos quince y menos tres veces. La tercera que tendremos menos, menos quince. Vale, pues lo hago aparte, también para que no me equivoque menos cinco. Por lo menos tres y menos z igual a cinco menos tres por menos cinco y menos cuatro Z. Igual a z. A pesar de que esto lo veáis como un poco artificial y que hago muchas cuentas, ya os digo que la solución se va a mantener. Vale, Si hago operaciones entre entre distintas ecuaciones del sistema, menos quince y menos Z menos cinco z. Igual a veinticinco. Y le tengo que restar quince. Y esto lo voy a poner entre paréntesis más quince y más doce z y igual a menos dieciocho. Vale, Bueno, sumo estas dos ecuaciones menos quince y quince. Y sale cero menos cinco z más doce z. Sale siete z positivo. Y por el otro lado, veinticinco menos dieciocho que sale siete. Así que esta será la tercera ecuación en el nuevo sistema de ecuaciones. Digo nuevo entre comillas, porque ya sabéis que el sistema es el mismo. Tenemos ahora lo que buscábamos. En efecto, tenemos todos los términos por debajo de la escalera, igual a cero, y entonces ahora se resuelve esto en cascada. Resuelvo primero la tercera ecuación, en la que sólo tengo una incógnita. Luego la segunda, cuando ya tenga la Z, puedo hallarla y y cuando tenga la y y la celda en la primera va a ser muy fácil encontrar la X ya. Esto es coser y cantar Z igual a siete entre siete, siete entre siete. Por supuesto que es uno y ya tengo la primera de las incógnitas Cuando tengo la primera de las incógnitas vamos a la segunda ecuación que tendremos menos tres por i menos uno igual a cinco. Entonces menos uno lo paso por el para el otro lado, sumando menos tres i igual a menos. Cómo es esto? Cinco uno seis A eso es y paso el menos tres a la derecha. Lo que está multiplicando pasa dividiendo seis entre menos tres, igual a menos dos y igual a menos dos. Pues ya tenemos la Z a la y habéis visto que esto es ya seguido y, por supuesto, la X, que es la que nos queda X. Sustituyo ya los valores que tengo de la y y de la Z x menos dos. Uno debe ser igual a dos Resultado X igual a dos más dos menos uno cuatro menos uno tres x igual a tres igual a menos dos y z igual a uno. Son las soluciones del sistema de ecuaciones que teníamos por el método de Gaos, que ha sido el método de resolución. Así que ese sería el método de resolución. Por supuesto. Esto como siempre y sobre todo en los exámenes. Comprobarlo porque es muy fácil. Sólo hay que sustituir en las ecuaciones y ver si el resultado coincide y de hecho lo vamos a hacer para asegurarnos. Para, imaginaos que todo fuese un examen. Vale? Y creemos que lo hemos hecho bien. Además, salen números enteros, que bueno, suelen ser ejercicios preparados porque salen números enteros. Entonces tiene buena pinta, Pero si fuese un examen, ya sabéis que en los exámenes hay que asegurarse al cien por ciento de que las cosas están bien, así que vamos a comprobarlo. Tres menos dos, uno es muy fácil comprobarlo. Es simplemente sustituir las ecuaciones y ver que se cumple cada una de ellas. Tres menos dos, uno, uno, dos. La primera se cumple dos por tres, seis menos, menos dos ocho más uno nueve también se cumple y tres por tres nueve menos dos por menos dos. Las cuatro. Que sea trece y trece menos uno igual a doce que también se cumple. Por lo tanto, hemos verificado que esa solución es correcta. Hemos resuelto este sistema de ecuaciones por el método de Gao. Espero que lo hayáis entendido. Espero que hayáis aprendido este método. Y si no, por supuesto que podéis dejar las dudas por aquí en el apartado de dudas. Espero que os haya servido y nos vemos en el próximo video Chao.

El método de Gauss, conocido también como el método de la escalera, es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones, en este caso, de tres ecuaciones. Este método implica manipular las ecuaciones para formar una estructura escalonada, donde la primera ecuación contiene las tres incógnitas, la segunda solo dos, y la tercera solo una. El objetivo es simplificar el sistema eliminando progresivamente las incógnitas (por debajo de esta "escalera") a través de operaciones como sumar, restar, multiplicar o dividir las ecuaciones. Este proceso se realiza hasta llegar a una ecuación con una única incógnita, que se resuelve fácilmente. Luego, se sustituyen los valores encontrados en las ecuaciones anteriores para hallar las demás incógnitas.Para implementar este método, se ajustan las ecuaciones para que los términos que queremos eliminar (los que están "por debajo de la escalera") se conviertan en cero mediante la combinación adecuada de las ecuaciones. Una vez que se ha obtenido la estructura escalonada deseada, se resuelve el sistema "en cascada", empezando por la ecuación con una sola incógnita, y utilizando los valores encontrados para resolver las ecuaciones restantes, una por una. La solución final del sistema se verifica sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones originales para asegurar que se cumplan todas. Este método es efectivo y se puede aplicar a sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño, aunque el ejemplo tratado es para un sistema de tres ecuaciones.

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...