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Inés

Video donde se exponen todos estos conceptos, explicados, dando ejemplos y mostrando diferentes situaciones que se pueden dar.

Concepto de límite

1.1 concepto de límite en infinito.mp4

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | PCE

Tema 1. Límites y continuidad

Hola, qué tal? Cómo estáis? Mi nombre es Andy González. Bienvenidos a Yuca Demy y a este primer punto de la unidad uno uno, que son límites en cuando la X tiende a infinito concepto de límite. Pues venga, vamos, Vamos a empezar. Vamos a ver el concepto de límite cuando la X tiende a infinito. Qué es lo que ocurre con los límites? Los límites. Ocurre es que las funciones, cuando yo las represento gráficamente estas funciones, la X se mueve entre entre menos infinito e infinito y la función, al mismo tiempo que la X se desplaza horizontalmente, las imágenes se desplazan verticalmente. Qué es lo que ocurre? Que saber a dónde tiende la función? No cuando yo tengo una función y veo que esta función, por ejemplo, se representa de esta manera cuando la X se va a infinito, a más infinito. Es muy interesante observar la función hacia donde tiende. No? En este caso la función iría hacia arriba. Por tanto, el resultado sería más infinito. Los límites me dan tanto el estudio local de una función, es decir, ver hasta dónde tiende cuando la X se acerca a un valor como el estudio global. Cuando la X tiende a infinito o menos infinito. Vayamos por orden para aprender a calcular límites. Siempre hay que sustituir la variable por valores cuando hay que operar con el infinito, pues es evidente que hay que saber trabajar con el concepto de infinito. Pero para sustituir por valores hay que tener cálculo, el cálculo un poquito ágil y usar la calculadora de manera correcta. Por tanto, yo te recomiendo que antes de empezar a calcular límites, este tema lo tengas bien resuelto. Por tanto, para re para resolver estos límites, en muchas ocasiones habrá que sustituir y ver qué es lo que pasa. Hay veces que dan me dan, me darán en determinaciones o no me van a dar en determinaciones. En todo caso, calcular límites es súper importante para poder interpretar muy bien una función. De hecho, si dominas los límites, te va a permitir saber calcular la derivada de una función en un punto. Te va a permitir calcular las astutas de una función, interpretar si tiene discontinuidades o no tiene discontinuidades. Por tanto, el tema de los límites es fundamental. Bien, pero vayamos a definir ya el concepto de límite cuando la X tiende a infinito vamos a ir primero. Cuando la X tiende a más infinito fijaros la definición. La definición dice que dada una función la función F de X diremos que el límite de esta función, cuando la X tiende a infinito, es l suponemos l el resultado del límite y lo escribimos de esta manera. Por tanto, este límite, el resultado de escribir el límite de así significa que el resultado es esta. L Si para cualquier valor Epsilon positivo existe un K, un número real, no tal que si la X es mayor que K, aquí tenemos la K y aquí tenemos el EP Sil. Entonces esta distancia, la distancia entre la función y el límite es menor que este éxito. Qué significa? Pues significa que dado un valor Epsilon cualquiera, yo siempre podré encontrar un valor de K determinado tal que si la X es mayor que K, entonces la distancia no la distancia del límite a la función va a ser menor que este Epsilon. Por tanto, si esto pasa siempre, si esto pasa para cualquier valor de Epsilon, lo que tenemos es que el límite de la función es igual a N. Esta es una definición estricta de límite, pero bueno, que hay que saberla interpretar. En este caso, por ejemplo, el límite de esta función es igual a cero. Fijaros que para cualquier valor de Epsilon siempre habrá un valor de K tal que la función se acercará al cero. Si yo en Epsilon lo cojo a un valor más pequeño, evidentemente llegará un momento que podré encontrar una de vaca tal que la distancia va a ser menor que cero. Por lo tanto, o sea, va a ser más pequeño que entre la función entre el cero más pequeño que este este éxito. Por tanto, en este caso podremos decir que la función es el límite es igual a cero. Vamos a ver algunos ejemplos. Por ejemplo, el límite cuando el X tiene más infinito de tres x menos cinco. Comentar que en cuanto a anotación, hay que tener en cuenta que cuando yo escribo el límite límite, cuando X tiene infinito de una función, la función siempre tiene que estar entre paréntesis, si es que hay sumas y restas. Es decir, si yo escribo tres x al cuadrado más cinco, esto sería incorrecto. Desde el punto de vista nomenclatura debería hacer límite de tres X cuadrado, cinco, por ejemplo. Todo entre paréntesis es importante porque el límite afecta a toda la función. En este caso, el límite de tres x menos cinco sería más infinito, porque fijaros que la función se va hacia el más infinito cuando la X tiende a coger valores grandes. En este otro caso pasa algo parecido. Cuando le toma valores muy grandes la función, fijaros que también se va hacia más infinito el resultado. El resultado del límite es un valor de y vale es un valor del valor y y la X siempre tiende a un valor horizontal. Por tanto, lo que estamos haciendo es comparar la tendencia del valor de la X cuando la X tiene un valor con el valor de la y ver al mismo tiempo cuando la X se desplaza más infinito la y hacia donde se desplaza. Pero claro, qué pasa que cuando operamos con infinito puede pasar que haya funciones que tienden a infinito a una velocidad y funciones que tienden a infinito, a otra velocidad. Y cuando las comparamos podemos tener indeterminación, es decir, situaciones que no se sabe a priori hacia donde tienden. Qué ocurre, por ejemplo, con estas dos funciones la función igual a x edx igual a x y F de x igual a x al cuadrado. Fijaros que las dos tienen infinito las dos. Los valores son cada vez mayores cuando la X se hace grande, pero la velocidad es muy diferente. No es lo mismo ir con la función X al cuadrado que con la función X. Por tanto, parece que los infinitos tienen como velocidades diferentes y eso hay que tenerlo muy en cuenta. Eso significa que tenemos que saber operar con el infinito. Cómo operamos con el infinito? Pues si yo tengo funciones que tienden a infinito o tienen una constante, una constante K no. Por tanto, estoy suponiendo que el límite de cuando x en infinito de una función es más, menos infinito y el límite cuando x en infinito de otra función es igual a K. Qué ocurre? Que yo muchas veces tengo que hacer operaciones con estos infinitos. Cuando yo sumo dos infinitos, el resultado se va hacia infinito. Pero cuando yo sumo dos menos infinitos, el resultado se va a menos infinito. Es evidente, no? Por tanto, eso hay que tenerlo en cuenta. Qué ocurre cuando tengo un infinito menos infinito Pues tengo una indeterminación. Por lo tanto, a priori no sé hacia dónde va a ir el resultado. Esa indeterminación la tendremos que resolver más adelante. Cuando tengo un infinito por infinito, me dará infinito y infinito. Por menos infinito. Me da menos infinito, no por de los signos. Cuando tengo un número por infinito o menos infinito, me va a dar más, menos infinito, siempre que la K sea diferente de cero, pero claro, dependiendo de los signos, no. Si la K es positiva o negativa, pues habrá que tener en cuenta. Pero cuidado, que cuando la K es cero no cero por infinito, es decir, k cero significa una función que tiende a cero. Es decir, esto tiende a cero y esto tiende a infinito. Aquí tengo una indeterminación. Por lo tanto, una determinación. También tendré que resolverla más adelante. Si tengo infinito entre infinito. También tengo en determinación, pero cuando tengo infinito entre cero, el resultado me dará infinito. De la misma manera que un número dividido por infinito tenderá a cero, dependiendo dependiendo del signo no cero por cero, más o menos dependiendo del signo. Y así podré ir viendo en cada uno de los casos por ejemplo, el tema de las potencias Puedo ir viendo cuando tengo una en determinación o cuando no. Por ejemplo, en el caso de un elevado infinito es una indeterminación. Si la base tiende a uno y el exponente tiene indefinido, tengo una en determinación. Pero si la base tiene un número positivo y y el exponente tiene infinito, dependerá de la base. Si es mayor que uno menor que uno que dará un resultado o no dará un resultado. Y lo mismo pasa con la radicación, no? Es decir, cuando tenga una raíz de índice par no de más infinito se va infinito. Pero cuando tengo una raíz de índice par si es de menos infinito, no existirá, porque la raíz de indice par de un número negativo no es un número, no es un número real. Por tanto, cuando estoy haciendo operaciones con el infinito es muy importante saber las funciones donde tienen y cómo operar con ellos. Vale, vamos a hacer algunos ejemplos. Por ejemplo, en este caso tenemos esta función límite cuando de cinco x siete dividido entre tres, aquí el numerador se va infinito. El denominador se queda con el tres, por tanto, es infinito entre tres tenderá a infinito. Es decir, la función se va haciendo mayor cada vez que la X tiende a infinito. En este otro caso tenemos que el numerador se queda estancado. Cuatro. Pero el denominador tiende a más infinito. No, porque tengo infinito al cuadrado más infinito, menos uno. Es decir, el denominador tiende a infinito. Cuatro dividido por infinito, tiende a cero. Fijaros la imagen si tengo una unidad que siempre es la misma y la voy dividiendo cada vez en partes, en muchas partes no cada vez divido en más partes. El resultado de esas partes es cada vez más pequeño. Fijaos que aquí, aquí, si divido en muchísimas partes, el resultado de las partes es cada vez más pequeño. Es lo que indica esta expresión cuatro entre infinito tiende a cero o o este otro ejemplo tenga una potencia donde la base tiende infinito. El exponente, también infinito, elevado, infinito, tiende a infinito. O es otro ejemplo? Tengo otra potencia donde la base tiende a dos tercios, un valor menor que uno y el exponente a más infinito. Por lo otro, el resultado es cero. Fijaros que aquí la idea es que el dos tercios se multiplica por dos tercios por dos tercios indefinidamente, cuando multiplica un número menor que uno indefinidamente. El resultado cada vez es más pequeño. Es lo que ocurre en este caso dos tercios por dos tercios por dos tercios. Cada vez me va a dar un número más pequeño o este otro caso que tengo un límite donde tengo infinito menos infinito. En este caso tengo una en determinación, pero fijaros que esta en determinación. Si yo hago el gráfico de esta función, no esta función de aquí. Si hago el gráfico, lo que lo veis en pantalla, el límite, en cambio, es igual a cero. Por tanto, al ser una determinación no significa que el límite luego no se pueda resolver.

El texto presenta una introducción al concepto de límites en matemáticas, específicamente cuando la variable X tiende a infinito. Andy González, el presentador, explica que al estudiar límites, se busca entender cómo las funciones se comportan al desplazarse horizontalmente (X) y cómo sus valores (Y) responden verticalmente. Es crucial dominar el concepto de límites, ya que permite calcular derivadas, identificar discontinuidades y realizar un análisis global de las funciones.Se define formalmente el límite cuando X tiende a infinito, señalando que para una función F(x), el límite es L si, para cualquier valor positivo epsilon, existe un K tal que, si X es mayor que K, la distancia entre la función y L es menor que epsilon. Se discuten ejemplos concretos que ilustran cómo calcular límites y se mencionan situaciones de indeterminación, donde no se puede determinar el resultado a priori. Asimismo, se explica cómo operar con infinito en diferentes contextos, como sumas y productos, y se presentan varios casos de límites que conducen a distintas conclusiones, enfatizando la importancia de comprender cómo se comportan las funciones en el infinito. En resumen, el texto enfatiza la relevancia de los límites en el análisis de funciones matemáticas y proporciona ejemplos y definiciones para ayudar a entender este concepto fundamental.

Introducción a los límites en matemáticas: cuando X tiende a infinito y su importancia en funciones.

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