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Santi

Explicación de la integral por partes con otras funciones en juego.

Integración por partes (V)

4.5. Integración por partes (V).mp4

Inés

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Matemáticas II | Selectividad

Tema 5. Cálculo de primitivas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Dam y a este nuevo vídeo de cálculo de primitivas. Estamos aún en el punto cuatro de integración por partes, pero en este vídeo ya vamos a ver algunas integrales con otros métodos, aunque tengamos que integrar por partes, pero también métodos alternativos que nos pueden ser muy útiles de cara a hacer algunas integrales. Venga, vamos a ver ejemplos concretos y venga a disfrutar de las integrales. Vamos a por ello. Bien, pues estamos en el metro de integración por partes y ya veréis que en algunos casos, aunque parezca que se tiene que entregar por partes obligatoriamente haciendo algunos cambios, trigo només o cambios de variable, a veces no es necesario. Venga, vamos a ver algunos ejemplos concretos. En primer lugar, vamos a ver esta integral integral del logaritmo de tres X. Claro, la integral del organismo de tres X es la típica integral que tengo que hacer por partes. Claro, cuando sale el logaritmo de base diez siempre es un poquito más engorroso, porque su derivada no es tan limpia como el logaritmo neperiano. En este caso puedo imaginar que tengo una función u un uno no. Y el logaritmo de tres x. La función U va a ser el logaritmo de tres X porque es la que voy a tener que derivar y la función diferencial de V va a ser uno por diferencial de X. Por tanto, eso significa que el diferencial de U va a ser uno partido por tres X lomo de diez por tres, no el logaritmo de dentro de la del por tres, que es el derivado de tres x diferencial de X y la función V va a ser igual a X. Qué significa? Significa bueno, G tres significa que un G tres significa que tengo u por v, es decir x por logaritmo base diez de tres x menos la integral de diferencial de U que es uno partido por x loni de base diez lomo de diez por x Estas X se simplifican y por tanto fijaros que me queda x por logaritmo logaritmo de tres x no logaritmo de tres x menos uno partido por logaritmo de diez por la integral de diferencial de X, es decir, que x logaritmo de tres x menos x partido por logaritmo de diez más constante. Esa sería la integral de logaritmo de tres x. Sí que es verdad que para hacer esta integral podría hacer, por ejemplo, un cambio de base y utilizar logaritmos neperiano también podría hacerlo. Siempre que utilizo organismos notaria el cálculo al final acaba siendo más un poquito más limpio, pero en todo caso, en este caso tendré. Tendré constantes, tendré coeficientes que tendré que tener cuidado. Vale, vayamos con otro ejemplo. Fijaros que esta integral la vamos a resolver dos veces de dos maneras diferentes. En primer lugar, vamos a utilizar integración por partes para integración por partes. Voy a hacer voy a poner esta integral de esta manera. Coseno cuadrado es coseno por coseno. Por tanto, puedo asignar una función. Será el coseno, con lo que su derivada será el menos seno. Y la otra función también será el coseno con lo que su primitiva será seno. Por tanto, si hago u por V será seno de X por profe de X menos integral de diferencial de U que es menos seno de X por seno de X. Vale, es decir, que me queda seno de X coseno de X integral de seno al cuadrado de X. Vale, Qué es lo que ocurre? Pues ocurre que yo tenía una integral que era coseno al cuadrado y ahora me queda un integral de seno al cuadrado. Si yo vuelvo a integración a integral por partes, en este momento lo que va a pasar es que se va a eliminar todo. Me voy a volver al principio, es decir, es como si no hubiera hecho nada. Por tanto, aquí hemos de tener en cuenta la relación fundamental de la trigonometría. Yo sé que uno es coseno al cuadrado, más seno al cuadrado y por tanto tengo que hacer un pequeño cambio, es decir, el seno al cuadrado lo tengo que cambiar por uno menos coseno al cuadrado de X. Eso significa que yo tendré que mi integral de coseno cuadrado de x diferencial de X va a ser el seno por el coseno más la integral de uno menos coseno al cuadrado de x diferencial de X. Eso significa que fijaros que la integral de coseno al cuadrado me vuelve a aparecer en los dos miembros de de la igualdad. Por tanto, fijaros que yo tendré dos veces coseno al cuadrado de x diferencial de X. Va a ser el seno por el coseno más la integral de uno no, la integral de uno es X. Por tanto, esto lo escribo aquí arriba. Por tanto, la integral de e coseno cuadrado va a ser uno de x coseno de X más X dividido por dos. Si despejo este dos no dividido por dos, todo me queda. Esta integral, por lo tanto, la entrenando el próximo cuadrado la puedo resolver de esta manera y he utilizado integración por partes, pero es que también puedo resolver esta integral que aparentemente debería hacer por integración, por partes, utilizando trigonometría, haciendo un pequeño cambio. Fijaros que cuando yo hago coseno de dos x coseno del ángulo doble, esto es coseno al cuadrado de X menos seno al cuadrado de X. No es la fórmula del ángulo doble del coseno. En cambio, sé que uno es el coseno cuadrado de X más el seno al cuadrado de X, que es la relación fundamental. Cuando yo sumo estas expresiones, fijaros que me queda esta de aquí. El seno y el seno cuadrado y se uno cuadrado se simplifica por tanto seno coseno al cuadrado de X. En definitiva, es uno más coseno de dos x partido por dos. Esta formulita es la que puedo utilizar para calcular directamente la integral de coseno al cuadrado. Cómo lo hago? Bueno, coseno al cuadrado de x diferencial de X es igual a la integral de uno más coseno de dos x partido por dos diferencial de X, es decir, un medio de la integral de uno que es X más la integral de coseno de dos x y la integral de coseno de dos x es el seno dos X partido por dos. Es decir, que lo que me queda es un medio por X más. Y qué es el seno de dos X? Pues es dos seno coseno no. El seno del ángulo doble es dos veces al seno por el coseno, este dos se simplifica y lo que me queda es X seno de x coseno de X, todo dividido por dos, que es, efectivamente la integral que tenía de del coseno al cuadrado, que es la que me había dado en la primera forma. Fijaros que me da el mismo resultado de una manera o de o de otra. Bueno, aquí sería más constante. Ahora me estoy dando cuenta que no es diferencial de X. Es más constante porque es ya la integral ya la tengo, ya la tengo hecha. Muy bien. Venga, vayamos con este otro ejemplo. Aquí tengo la integral de raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado. Este es un tipo de integral que es obligatoriamente. Tengo que hacer un cambio de variable. Fijaros que el cambio de variable que normalmente puedo hacer es X igual al seno de T. Por qué X igual al seno de T? Porque entonces X al cuadrado, Seno al cuadrado, uno menos x al cuadrado será uno menos sno al cuadrado y uno menos uno al cuadrado. Es coseno al cuadrado de t. Por tanto, coseno al cuadrado de T es lo que va a estar dentro de la raíz cuadrada. Es decir, que al final se va a simplificar la raíz cuadrada. Claro, si hago este cambio de variable X igual al seno de T, la diferencial no va a ser la llevada del seno, que es el coseno diferencial de té. Por tanto, lo que me queda es la integral de raíz cuadrada d con cuadrado de t por diferencial de X que es coseno de T diferencial de T, es decir, la integral de coseno al cuadrado de T diferencial de t, pero es que esta integral la acabamos de hacer en el ejemplo anterior. Directamente puede poner el resultado Seno T seno de t con seno de T partido por dos constante, Claro, porque como hemos hecho un cambio de variable, haremos de deshacer el cambio, no el deshacer el cambio. Fijaros que bueno, vamos a intentar deshacer este cambio. Sí, x s seno de T Cuánto vale T? Bueno, te vale el a seno de X, No? Efectivamente, porque es la función inversa en lugar del seno. Ya tenemos la X, no, si no de T es igual a x. Y cuánto vale el coseno de El coseno de T? Bueno, pues está claro que si X es el seno de T X al cuadrado es el seno al cuadrado y uno menos x al cuadrado será uno menos seno al cuadrado, que es coseno al cuadrado. Por tanto raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Será el coseno de T. Eso significa que yo ahora tengo que sustituir, No, en esta expresión no tengo que sustituir toda toda mi integral. Es decir, que yo tengo tenía CNT con CT partido por dos, pero ahora tengo que sustituir lo que corresponde a cada una de las variables. La t es el asno de X, el seno de T es la X y el coseno de T es raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado. Todo partido por dos más constante, por tanto, la integral de raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Finalmente es toda esta expresión al seno de X Mas X raíz de uno menos x al cuadrado, Todo partido por dos más constante. Por tanto, fijaros que cuando ya integramos y utilizamos el método de integración por partes, en muchas ocasiones hemos de hacer cambios de variable y en muchas ocasiones hemos de utilizar también la trigonometría, es decir, formas trino mecas que me pueden resolver. Pues bueno, pues las situaciones que tenemos en cada caso

En el vídeo de Yuka Dam se aborda el cálculo de primitivas, específicamente en el contexto de la integración por partes y otros métodos alternativos. Se presentan ejemplos concretos que ilustran cómo resolver integrales, comenzando con la integral del logaritmo de tres X, que normalmente requeriría integración por partes, pero también se puede simplificar mediante cambios de variable.El presentador explica cómo aplicar integración por partes a la integral del coseno cuadrado, mostrando que a veces se puede llegar al mismo resultado utilizando identidades trigonométricas en lugar de seguir el método por partes. Se destaca la importancia de reconocer cuándo es conveniente realizar cambios de variable o aplicar relaciones trigonométricas para simplificar el proceso de integración.Además, se presenta un ejemplo de la integral de raíz cuadrada de uno menos X al cuadrado, donde se utiliza un cambio de variable específico (X = seno de T) para facilitar el cálculo. Al final, se resalta que en muchas ocasiones es necesario combinar diferentes enfoques (cambios de variable y trigonometría) para resolver integrales de manera eficiente.

Métodos de integración: Primitivas y alternativas en cálculo de integrales

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