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Santi

Integración de funciones racionales donde el denominador tiene raíces reales múltiples.

Integración de función racional (II)

5.2. Integración de funciones racionales (II).mp4

Inés

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Matemáticas II | Selectividad

Tema 5. Cálculo de primitivas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Dam y a este nuevo video sobre integración racional. Es decir, estamos en la unidad cinco. Cálculo de primitivas ya en el último bloque. Método de integración de funciones racionales. Venga, vamos con el segundo tipo de funciones racionales. Cuál es el segundo tipo de funciones racionales? Hemos visto en otros vídeos cómo calcular integrales de funciones racionales donde el denominador tiene raíces simples. Vamos a ver ahora qué pasa cuando las raíces del denominador son múltiples Para ello vamos directamente con un ejemplo. Acordaros que en la integración racional siempre el numerador tiene que tener un grado menor que el denominador, Porque si esto no pasa hay que hacer la división, la división de polinomios y siempre quedarnos siempre con el resto para poder hacer la integral, pero siempre el numerador grado menor que el denominador. Venga, vamos con este primer caso, el primer caso. Fijaros que cojo el siempre intento calcular las raíces del denominador cojo las recetas del denominador y en este caso fijaros que me da x x uno. Por tanto, cuando igual a cero obtengo dos soluciones o x es igual a cero o x es igual a menos uno, pero ésta es doble. Es decir, que aparece dos veces X y X muy bien en el proceso. En el caso uno, cuando teníamos raíces simples o lo que hacía lo que hacíamos era repartir la fracción en diferentes fracciones con coeficientes diferentes a BC, dependiendo de las raíces que teníamos. En este caso lo que hacemos es algo parecido. Fijaos que yo ahora voy a intentar encontrar coeficientes que me cumplan lo siguiente Fijaros que empiezo por factor en voy de factor al factor. Empiezo con las raíces, voy con el X igual a cero. Como me ha salido doble, tengo que llegar hasta X al cuadrado, pero lo primero que hago es planteo a partido por x más de partido por x al cuadrado. Ya he acabado con la primera raíz, la raíz cero. Voy con la raíz menos uno. La raíz menos uno. Es simple, por tanto, sólo tengo que poner c partido por x uno. Fijaros que si en lugar de raíz doble, como en el caso que pasa en el cero, hubiera salido, por ejemplo, Multiplicidad cinco tendría que poner a partido por X B Partido por X al cuadrado. C Partido por x al cubo para X a la cuarta, etc, etc. Etc. Es decir, contemplar todas las posibilidades para que pudiera tener sentido no poner esta expresión de esta de esta manera. Vale, Por tanto, ahora lo que hago es lo mismo que lo hacíamos en el otro caso, igualar los numeradores. Fijaros que si hago igual a los numeradores, en este caso el el denominador común no va a ser X al cuadrado multiplicado por X uno. Por tanto, simplemente tengo que poner lo que le falta, no a cada coeficiente para poder llegar a ser lo mismo. En este caso le falta una X y un X uno. A la B le va a faltar un X uno simplemente y a la C le va a faltar x al cuadrado. Por tanto, por tanto, yo tengo esta igualdad x uno es igual a A x por x uno b por x uno c por x al cuadrado y para encontrar a, B y C lo que vamos ahora es lo mismo que hacía en el caso del bueno, pues de las integrales, digamos de caso uno, cuando las raíces eran simples es sustituir por las raíces que he obtenido. Supongo que si os dais cuenta que tengo tres coeficientes, pero sólo tengo dos raíces. Es raíz cero y raíz menos uno. No pasa nada, Puedo sustituir por ellas y luego sustituyo por otro número. Vale? Por tanto, voy a plantear aquí la igualdad que tengo que resolver a X por X uno más B por X uno más C por X al cuadrado. Vale, empiezo con el X igual a cero y por tanto me queda que uno va a ser igual a B. Es decir que uno es igual a B. Ya he encontrado el valor de y cuando la X es igual a menos uno donde haya un menos un X uno va a dar cero. Por tanto, me va a dar que cero va a ser igual a igual a C. Por tanto, que la C me va a dar me va a dar cero. Claro. Para encontrar el valor de A tendré que sustituir por otro número. Por ejemplo, si sustituyo por uno, yo tengo que dos va a ser igual a A por dos B por dos cero por uno. Por tanto, como la B tiene valor uno, pues tendré que dos ser igual a dos a dos. Por tanto que la A va a ser igual a cero. No va a ser igual a cero. Por lo tanto, fijaros que lo que tengo no, lo que tengo es que en mi desarrollo, no en mi desarrollo. Mi integral integral de x uno partido por x a la tres más x al cuadrado. Fijaros que me ha quedado la A es cero. Por tanto me queda la integral de cero partido por x diferencial de X más la integral, la B Meda uno, por tanto, uno partido por X al cuadrado, más la integral. La ZM me da cero partido por x uno. Es decir, que hay dos integrales que directamente me dan cero. Y lo que me queda es integral de uno partido por X al cuadrado, que es integral de X a la menos dos y directamente X a lo menos uno partido por menos uno, Es decir, menos uno partido por x más constante. Así a cabo la integral, claro. Es curioso que me dé este resultado, no que me haya dado dos coeficientes cero. Pero bueno, tampoco es tan curioso, porque si nos hemos de fijar en la integral que me dan desde el principio. Si yo me hubiera dado cuenta aquí tendría esta integral X al cuadrado por X uno y el X uno se podría simplificar, por lo tanto integral de uno partido por X al cuadrado y sería mucho más fácil de resolver. Por tanto, en conclusión de este caso es que yo puedo separar con A, B y C, pero a veces también tengo que fijarme en la integral como es, porque si la puedo simplificar desde el principio, pues bueno, es mucho más fácil siempre Vale, vayamos con otro ejemplo. En este caso fijaros que es una funda integral con raíces múltiples. Aquí ya me dan las raíces del denominador, porque fijaros que si yo igual o a cero ya tengo las raíces, que son al menos uno y el cero, igual que antes y las dos son dobles. Por tanto, cuando yo haga ahora la descomposición, yo tendré esta situación de aquí. Fijaros que hago lo mismo que antes. Contemplo para cada raíz. Tengo que contar todos los casos por donde a partido por x más de partido por X al cuadrado C Partido por x uno más de partido por x uno al cuadrado. Es decir, contemplar todas las potencias. Tengo cuatro coeficientes y sólo dos raíces. Por lo tanto, tendré que utilizar dos numeritos más. Eso significa que el numerador no va a ser a por X. No. A la X le falta una X y un x uno al cuadrado más B a la B le falta un x uno cuadrado C al hacerle falta el X al cuadrado y el X uno y al D le falta el X al cuadrado. Y vale, pues simplemente lo que hago es sustituir ahora por las raíces para intentar calcular estos coeficientes. Venga, empezamos. Si el X es menos uno, fijaros qué? Lo que tengo es que uno es igual donde aparece X uno va a dar cero. Por lo tanto, va a ser igual a D. Es decir, que D va a dar igual a uno. Y si la X es cero, tendré que uno es igual donde aparezca. La X va a dar cero, por lo tanto, que da cero cero cero va a dar igual a B. Es decir, que la B también da valor de uno. Tendré que sustituir por otros números. Yo, por ejemplo, puedo sufrir por X igual a uno. A ver qué ocurre. Tendré que uno será igual a dos a cuadrados cuatro, cuatro, cuatro a más, dos al cuadrado. Cuatro B más uno por uno. Uno más C más D Por tanto que uno Si la D y la B es uno no. Si la D y la B es uno, tendré que cuatro a más C cinco. Por tanto menos cuatro es cuatro a más C tengo aquí una ecuación que tengo que que tengo que resolver y sigo por aquí para no confundirme. Sigo por aquí y digo por ejemplo, para X. Igual vamos a coger, por ejemplo, otro valor, por ejemplo, que es igual a dos. Si la que es igual a dos, tendré que uno será igual. Dos uno es tres, tres al cuadrado es nueve. Nueve por dos. Dieciocho dieciocho. A más dos. Tres. Por lo tanto, nueve b más dos sería cuatro por tres. Sería doce doce C más cuatro D. Por tanto, tengo que uno como la A como la des uno y la B uno no tendría que esto es trece. Es decir, que uno es dieciocho a más doce C trece, es decir, que menos doce es dieciocho a más doce C. Tengo esta segunda ecuación. Vale, conclusión tenemos por una banda menos cuatro es igual a cuatro almacen. Y por otro lado, tengo que menos doce es igual a dieciocho. A más doce C. Perfecto. Tengo este sistema de ecuaciones que tengo que resolver. Claro, Puedo simplificar, por ejemplo, la primera, la de how, pero la segunda la puedo simplificar. Por ejemplo, entre entre dos no. Y entre tres entre seis, por ejemplo, podría hacer entre seis menos dos es igual a tres a más dos C. Y ahora aplicó, por ejemplo, reducción. Multiplicó por lo menos dos. La primera, que diría ocho igual. Al menos ocho a menos dos C y menos dos es igual a tres. A más doce. Por tanto, seis es igual a menos cinco A. Por tanto, la es igual a menos seis quintos. Ya tengo la a calculada y bueno, pues por ejemplo, vengo aquí y tengo que menos cuatro es menos veinticuatro quintos más C. Por tanto, la C me va a dar menos. Veinte, menos cuarenta y cuatro y vale, me dan valores totalmente bueno, un poquito raros, no? Pero bueno, en definitiva es igual. Son coeficientes son números. Pues bueno, pues fáciles de utilizar son fracciones. Así que venga en que en conclusiones llegamos, pues digamos que mi integral de uno partido por x más uno al cuadrado x al cuadrado va a ser igual. La integral vale de a partido por x la A me ha dado menos seis quintos partido por X integral de B B, partido por X al cuadrado, es decir, de uno a partido por X al cuadrado, más la C menos cuarenta y cuatro quintos. Partido por X uno. Y la de también es uno, por tanto, uno Partido integral de uno partido por x uno al cuadrado. Vale, Por tanto, fijaos que aquí aparecen logaritmos por una banda, pero por otra banda aparecen integrales que son prácticamente inmediatas, Es decir, en seis quintos logaritmos de X. Eso sería X a la menos dos. Por tanto, mas X a al menos uno partido por menos uno menos cuarenta y cuatro quintos logaritmo de X uno. Y aquí sería X uno elevado, menos dos. Me dará X uno elevado menos uno partido por menos uno más constante. Por tanto, ya para acabar y simplificar un poquito. Bien, lo cabo aquí arriba me daría menos seis quintos logaritmo de X menos uno partido por X menos cuarenta y cuatro quintos logaritmo de X uno y menos uno partido por x uno más constante. Pues ya he acabado, ya tengo uno integral. Que fijaros que en este caso, cuando las raíces son múltiples, es un poquito más elaborado porque porque bueno, porque los coeficientes no se encuentran directamente, sino que tengo que sustituir por otros valores.

El video de Yuka Dam se centra en el cálculo de primitivas y la integración de funciones racionales, específicamente en el tratamiento de denominadores con raíces múltiples. Se comienza recordando que el grado del numerador debe ser menor que el del denominador para poder realizar la integración directamente; de lo contrario, se requiere realizar una división de polinomios.El presentador explica el proceso de descomposición en fracciones parciales, comenzando con un ejemplo donde el denominador tiene raíces simples y dobles. Se enfatiza la importancia de identificar las raíces y su multiplicidad, ya que esto determina la forma de la descomposición. Para cada raíz se asignan coeficientes que se utilizan para igualar los numeradores y resolver las ecuaciones resultantes.Se presentan ejemplos concretos donde se sustituyen las raíces en las ecuaciones para encontrar los valores de los coeficientes. A través de un sistema de ecuaciones, se obtienen los valores de estos coeficientes, que luego se utilizan para resolver la integral.Finalmente, se concluye que el proceso de integración se vuelve más complejo con raíces múltiples, ya que los coeficientes no se determinan de manera directa y requieren la sustitución de otros valores. El video proporciona una guía paso a paso sobre cómo abordar la integración de funciones racionales con raíces múltiples, destacando la importancia de la simplificación y el reconocimiento de patrones en las ecuaciones.

Método de integración de funciones racionales con raíces múltiples y ejemplos prácticos

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...