Ucademy

foto perfil superprof.jpg

Santi

Video donde se muestra como se hace la derivada implícita con varios ejemplos, mostrando los pasos.

Derivada de la función implícita

6. Derivada de la función implícita.mp4

Inés

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 2. La derivada de una función

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Dami y a este vídeo donde vamos a ver la derivada de la función implícita. A ver, hay muchas funciones que a veces no se puede despejar la y respecto a la X y por tanto, parece como que tenemos expresiones donde está todo mezclado. Aunque no se pueda despejar, no significa que no se pueda calcular la derivada. Igualmente, se puede calcular la derivada de una función implícita, es decir, una función donde está todo ahí mezclado y aparece una ecuación con dos variables en una ecuación igualada a cero. Bien, pues en este vídeo vamos a ver cómo podemos derivar y cómo podemos aplicarlo igualmente a calcular, por ejemplo, ecuaciones de la recta tangente. Venga, vamos a por ello. Bien, pues vamos a ver que consiste, en primer lugar, una función implícita. Como decíamos, a veces hay funciones que no se puede despejar la variable X respecto y normalmente estamos acostumbrados a tener expresiones de este estilo, por ejemplo, y griega igual a dos X cuadrado. Tres donde cuando derivamos derivamos siempre respecto x. En este caso haríamos la derivada respecto X. Acordamos que la derivada es esta también notación la relación de la Ifni derivada de diferencial de ir respecto diferencial de X. Por tanto, cuando estamos derivando estamos derivando respecto X Qué ocurre cuando tengo una expresión que no se puede despejar la y respecto a la X, por ejemplo, yo tengo esta expresión en esa expresión. Es muy difícil despejarla y griega en función de X, porque por mucho que intente despejarla, pues es complicado. Vale, vamos a hacer un ejemplo. Imaginemos que tenemos este ejemplo, este ejemplo de aquí no? Y tenemos una expresión donde aparece la X y la y todo mezclado. Fijaros que aquí es muy difícil despejar la y no como comentábamos antes y lo que tenemos es una función de dos variables. Es decir, lo que aparece es una función de dos variables igualado a cero, Claro. En este caso, si yo puedo representar la función, por ejemplo, que no sería una función una función implícita, no sería una curva. Esta curva la puedo representar con George, no hay problema. Y observamos que en este caso, por ejemplo, tiene cierta suavidad, es decir, que se puede llegar a calcular rectas tangentes. Por tanto, se puede llegar a hacer derivadas de la función Pero claro, yo no puedo despejar la y griega en función de X, como hago la derivada. Bien, pues como decíamos, una función es implícita si aparece una expresión con dos variables XXI. De manera que Pues bueno, pues es una ecuación donde aparece una función de XX igualado a cero. Vamos a coger este ejemplo, no? Este ejemplo que teníamos antes para calcular la derivada, Bien, para calcular la derivada hemos de tener en cuenta lo que antes comentábamos que la derivada de y es respecto X. Por tanto, cuando yo derivo a la y estoy derivando respecto a X. Por tanto, la derivada de la y griega va a ser justamente y prima, no? Y prima siempre es la diferencial de I respecto X. Eso significa que si yo tengo, por ejemplo, la función dos i y yo la quiero derivar la derivada va a ser dos y prima por qué? Pues porque estoy derivando respecto X. Venga, pues vayamos a ver cómo se calcularía la derivada en este caso, lo primero que haría en este caso de aquí, lo primero que haría sería derivar de manera normal. Es decir, cogería la derivada de la suma no y derivaría cada uno de los términos que tengo a continuación. Pero fijaros que, por ejemplo, esta función o esta parte de la función dos X y cuando yo la derivo, no me daría un dos por la derivada de un producto, eleva un producto, sería deriva de X, es uno por la segunda, sin derivar más. La primera sin derivar por la derivada de la segunda que sería y prima. Por eso esta expresión de aquí coincide con esta expresión que tenéis aquí, no? Por tanto, si vamos derivando cada una de las expresiones, fijaros que la siguiente sería y al cuadrado y al cuadrado sería dos y por y prima regla de la cadena. La derivada dos x al cuadrado sería cuatro X y la derivada de y sería y prima y la derivada de uno sería cero. Por tanto, puedo ir derivando no regularmente cada término. Y al final, pues bueno, pues derivo a una banda y derivo a otra banda, a otro miembro de la igualdad. Una vez he derivado, lo que tengo que hacer a continuación es despejar la imprima. Es decir, la imprima. La tengo que localizar la veo que la tengo aquí y la tengo que dejar sola, por tanto la imprima la saco, factor común de toda esta expresión y ahora ya puedo despejar mi derivada, es decir, la derivada y imprima. Es toda la expresión que veis a continuación. En este caso, la función que teníamos no la en función implícita que teníamos era Esta es una curva que la puedo representar en el eje XXI, en el sistema cartesiano XXI, pero cuando la derivo fijaros que lo que estoy obteniendo es una función con dos variables. La función, la derivada, es en función de estas dos variables. Si utilizo el Geo Gebre, me podría dar un gráfico como el que veis. Ese gráfico de color oscuro sería como la derivada. Fijaros que la derivada dependería de dos parámetros de dos variables. Vale, y por lo tanto me quedaría un gráfico tridimensional. Venga, pues vamos a hacer algunos ejemplos más. Por ejemplo, vamos a encontrar la derivada de esta función. Cómo la derivo? Pues derivo de manera natural. Primero derivo el miembro de la izquierda, miembro de la derecha. Alerta la regla de la cadena que hemos de aplicarla continuamente. Coseno del producto. Por lo tanto, sería Le voy a dar coseno al menos seno de X por I por ahora, el producto, lo de regla de la cadena no hemos de derivarlo de dentro. Por lo tanto, tenemos un producto derivado de X. Es uno por las segundas, sin derivar más primeras sin derivar por y prima el siguiente te lavada del seno. Es el coseno, por tanto, menos coseno de ecp. Sí, por derivada del producto, que sería de nuevo uno por la segunda, derivar más x por i prima muy bien más derivada de x al cuadrado, dos x derivada de dos y al cuadrado, pues menos dos y por y prima derivada de uno cero y por tanto me queda esto de aquí. Ahora tengo que intentar despejar donde aparece mi valor y prima. Por lo tanto, si yo multiplico el primer paréntesis, lo que me queda es menos y sino de x y menos x se no de x y por y prima aquí voy a tener la y prima siguiente menos coseno de X y por y por el doble. Y lo puedo poner delante menos x coseno de x x y por y prima más dos x menos dos i por i prima igual a cero Fijaros que yo tengo el y prima aquí tengo aquí y tengo aquí. Por tanto, lo que no lleva y prima lo paso a la otra banda de el igual. Es decir, que yo tengo y prima que puedo sacar factor común de qué? Pues menos X de seno de quisi menos x de coseno de qui si menos dos. Y todo esto en una parte del igual y en otra parte del igual puedo colocar todos los términos que no tiene XXI que no lleva y prima no más y coseno de XXI menos dos x. Por tanto, ahora solamente tengo que despejar el i imprima el ipri sería esta expresión de aquí? Normalmente la derivada siempre va a depender de los dos parámetros. Por tanto, lo que me quedaría sería esta expresión de aquí. Si x si menos x coseno de X y menos dos. Y fijaos que me queda una expresión un poquito compleja, compleja, pero he conseguido hacer la derivada de esta función implícita. Vale, vayamos con otro ejemplo. Aquí vamos a encontrar la recta tangente a esta circunferencia en el punto de AB Fisa uno. Por tanto, lo que yo tengo es una circunferencia de radio dos. Tengo esta circunferencia de radio dos y tengo en el punto uno. Por tanto me van a salir dos rectas tangentes, no, dos rectas tangentes, que son las que voy a intentar calcular para calcular la ecuación de la recta tangente. Necesito la derivada Derivamos implícitamente en este caso sería dos x más dos i por ipri es igual a cero derivado del cuatro es cero. Por tanto, Ipri sería menos dos x entre dos y el dos simplifica menos X entre y Vale, pero yo tengo X igual a uno. Y eso significa que si la X es igual a uno la y sustituir por uno, no? Y despejar la y griega me va a dar dos valores raíz de tres y menos raíz de tres. Por tanto, tengo dos puntos de Tang, que son estos dos que vemos aquí? No son esos dos puntitos que he calculado que he dibujado antes, Por tanto, tengo dos rectas tangentes. Cuál es la derivada en estos puntos de Tang? Vale, pues la derivada en el punto uno, raíz de tres va a ser menos X entre y y por lo tanto menos uno entre raíz de tres. Es decir menos raíz de tres partido por tres la derivada en el punto uno menos Ray de tres va a ser menos X entre y por tanto menos uno entre menos Ray de tres. Es decir, Ray de tres partido por tres. De acuerdo, eso significa que yo tengo dos rectas tangentes tengo y es igual a la pendiente. La pendiente en el primer punto sería menos red de tres partido por tres de X menos uno más. Ray de tres. Estoy mirando el punto este de aquí. Por tanto, la X es uno y la y la imagen sería raíz de tres. Y en el otro punto de Tang, pues sería de tres partidos por tres x menos uno más. Bueno, en este caso, menos raíz de tres. Por tanto, tengo las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia cuando la X es igual a uno. Bien, aquí las tenéis. No punto de Tang sería el uno ra de tres y el uno menos red de tres. Y aquí tenéis las dos ecuaciones de las rectas tangentes. Venga, vamos Con este último ejemplo. Fijaros que aquí encuentra la recta tangente a esta circunferencia en el punto X igual a dos. Bueno, no es una circunferencia. Vale? No está bien. El enunciado no es una circunferencia, es una curva. Vale más genérica. Vamos a ver cómo sería la recta tangente en el punto dos dos en el punto concreto dos, dos. Lo que hago es derivar por tanto derivada sería dos. Puedo sacar con la constante derivada a la primera. Sería uno por la segunda, sin derivar más X por la derivada de la segunda menos aquí tengo también un producto. Por tanto, sería dos y por y prima por la segunda sin derivar más. La primera sin derivar por dos x cero igual a cero. Ahora localizo la i imprima, localizo la imprima, que la tengo aquí. Por tanto, lo que tengo es dos x y prima menos dos x cuadrado y por I prima dos y menos dos x y al cuadrado igual a cero. Es decir, lo que hago es intentar localizar la y primari porque lo tendré que sacar factor común a continuación, claro, es que si saco factor común me queda dos x menos dos x cuadrado y Y aquí me quedará dos x y cuadrado menos dos. Y por tanto, lo que hago es dividir este te lo paso dividiendo, digamos. Y me queda esta derivada. Qué es la derivada de esta curva que depende de dos parámetros. Si ahora quiero la recta tangente en el punto dos dos. Pues necesito su derivada. Necesito la derivada en el punto dos dos, es decir, sustituir la X por dos y la y por dos. Aquí me va a dar dos por dos, cuatro por cuatro, dieciséis dieciseis menos cuatro. Y aquí me va a dar dos por dos, cuatro, cuatro menos dieciseis. Por tanto, me va a dar menos uno. Es decir, que la derivada es igual a menos uno. Por tanto, la recta tangente va a ser menos uno por x menos dos más dos. Fijaos que el punto de Tang era el dos dos. Es decir, que tengo que la recta es menos X más dos más dos más cuatro. Esa será mi recta tangente. Fijaos que aquí tenéis la curva. No, no era una circunferencia. Evidentemente, esto no es Esto no es bueno. No es correcto. Era una curva, pero la recta tangente en el punto dos dos sí que es correcta. Fijaros que me ha dado la recta igual a menos X más cuatro. Sí,

El vídeo presenta un tutorial sobre cómo calcular la derivada de una función implícita, es decir, aquellas funciones en las cuales las variables x e y están mezcladas de tal manera que no se puede despejar y en función de x directamente. A pesar de esta complejidad, es posible derivar estas funciones aplicando la diferenciación implícita, un proceso que también se extiende para encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas definidas de manera implícita.Una función implícita se caracteriza por presentar una relación entre x e y que no se puede expresar como y = f(x) de manera directa. Para derivar respecto a x en estas funciones, se trata a y como una función de x (y = f(x)), lo que implica que la derivada de y respecto a x es y′. Durante la diferenciación, cada término que involucre a y debe ser derivado aplicando la regla de la cadena, considerando que la derivada de y es y′.El proceso de diferenciación implícita consiste en derivar cada término de la ecuación respecto a x, aplicando las reglas de derivación pertinentes, como la regla del producto y la regla de la cadena para aquellos términos que involucran a y. Una vez obtenida la derivada de cada término, se reorganiza la ecuación para despejar y′, obteniendo así la expresión de la derivada de la función implícita.El vídeo también muestra cómo aplicar este proceso para encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a curvas definidas implícitamente. Para ello, se calcula la derivada en el punto de tangencia dado para determinar la pendiente de la recta tangente y, con este dato, se formula la ecuación de la recta aplicando el punto-pendiente o cualquier otro método apropiado.A través de ejemplos prácticos, se ilustra cómo manejar distintas funciones implícitas y cómo, a partir de la diferenciación implícita, se pueden resolver problemas como el cálculo de derivadas y la determinación de rectas tangentes a curvas complejas, demostrando la utilidad y aplicabilidad de este método en el

Cómo derivar funciones implícitas: tutorial completo

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...