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Santi

Video donde se muestra la definición de derivada y la tax de variación media, mostrando de donde sale la ecuación de la recta tangente.

Derivada en un punto e interpretación geométrica

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Inés

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Jordi

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 2. La derivada de una función

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Ami y a esta unidad dos, la función derivada. Vamos a empezar por el principio, por el concepto de derivada y tasa de variación media. Venga, vamos a por ello. Bien, pues aquí estamos. Vamos a trabajar desde el principio ya con el concepto de derivada y tasa de variación media, lo primero que hacemos es una previa introducción y condición histórica, no? Contexto histórico de la función derivada. Y a partir de aquí vamos con la tasa de variación media. Venga, vamos a por ello. Claro. Cuándo empieza el tema de las derivadas, Cuando se descubren las derivadas bien desde el principio, desde los, digamos desde los sabios griegos, estos sabios, estas personas ya estaban preocupadas por el cálculo de Arias bajo una curva y sobre todo, también de la ecuación de la recta tangente. El cálculo de superficies era una preocupación constante en esta época porque permitía y bueno, y permitía la elaboración o la parcelación de terreno. Sobre todo, en ese momento ya se pactaron o ya se formularon las condiciones geométricas de Bueno, pues de lo que era la geometría UC Lidiana. El propio U Clix estableció unos parámetros ya muy concretos, pero fijaros que no fue hasta el siglo XVI cuando dos científicos, dos matemáticos como Leibniz y Newton, por separado, descubrieron el cálculo infinitesimal. Ambos llegaron a la relación entre el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales. Es decir, permitieron la resolución no encontrar la solución de cómo se calculaba el área bajo una curva, cuando esta curva era justamente pues esto, una función curva no era una recta ni un polígono regular, como hasta entonces ya se conocía. Tanto Newton como Levy llegaron por situaciones diferentes, desde puntos de vista diferentes y generó un litigio muy importante entre ellos, no donde hubo una disputa enorme. Tanto que bueno, pues que realmente se discutió mucho cuál era el origen del cálculo infinitesimal, es decir, del cálculo de la derivada. Actualmente se sabe que los dos llegaron por sitios diferentes y se reconoce el trabajo de ambos. Las derivadas son en Bachillerato. Una Bueno, pues una parte de las matemáticas muy importante. Es un aprendizaje que se hace, se comienza en primero de Bachillerato y se continúa en segundo, y es fundamental para la compañía la comprensión del análisis de las funciones de poder hacer gráficos de estudiar la evolución de estos gráficos del crecimiento de crecimiento, máximos mínimos, etc, etc. Tienen muchísimas aplicaciones y saber derivar muy bien y comprender la derivada en profundidad es fundamental. Eso es lo que pretendemos explicar en toda esta unidad, bien. Pero empezamos por el principio, por la tasa de variación media de una función. A veces me interesa saber en una función entre dos entre un intervalo concreto entre dos valores cuánto la función ha crecido o ha decrecido y a mes, y además saber también saber el valor medio de ese crecimiento. Para eso tenemos la tasa de variación media. Veamos en qué consiste la tasa de variación media. Básicamente es el crecimiento medio que hace una función entre dos valores concretos. Fijaos en este ejemplo que la fórmula de la tasa de variación media es la que tenéis en pantalla. Necesitamos un intervalo, por ejemplo, en este caso, el intervalo doscientos cinco. En este caso, necesitamos un intervalo cerrado. La función sea continua en este intervalo y determinar las imágenes de los extremos tal cual. Hay que calcular la división, no de de la diferencia de estas imágenes entre la división del segmento horizontal. Este cociente nos va a dar el crecimiento medio por unidad que tiene esta función. En este intervalo vamos a hacer un ejemplo. Vamos a coger la función X cuadrado más tres x cinco y vamos a ver la tasa de variación media en el intervalo menos uno uno. Está claro que aplicamos la fórmula, no que acabamos de ver anteriormente y en este caso la tasa de variación media es tres. Eso significa que cada unidad hay un crecimiento medio de tres unidades. Si vemos la representación gráfica de esta función, nos damos cuenta que entre menos uno y uno entre estos dos valores hay un crecimiento importante de la función. Pero fijaros que para avanzar dos unidades hemos necesitado subir seis unidades vertical en vertical. Por lo tanto, la tasa de variación media sería hacer cada uno subir tres. Evidentemente, como es una media, no. Al final no es un crecimiento exacto en cada punto, sino que al final es escoger el intervalo y dividir por el crecimiento total. Y por tanto, pues nos da un promedio aproximado de ese crecimiento. Claro, la tasa de valor media está muy bien, pero a veces nos interesa saber el crecimiento instantáneo es decir, saber en un punto si la función está creciendo o no creciendo. Es decir, si está decreciendo saber exactamente en un punto qué es lo que ocurre. Para eso necesitamos la derivada. Cómo se construye la derivada? Pues bueno, supongamos una función continua y cogemos un intervalo cerrado, en este caso intervalo que está formado por los extremos A a más h. Es decir, cogemos un incremento de H determinado un incremento concreto y construimos una recta secante a esta función que pase por estos puntos, no por las imágenes de estos dos valores. Está claro que esta recta secante va a tener una pendiente. Esta pendiente la calculamos haciendo la diferencia de las imágenes menos FDA y aquí dividiendo por H. Por tanto, la pendiente va a ser la diferencia de a más h menos f de dividido por h. Esta va a ser la pendiente de esta recta secante. Vale, qué es lo que ocurre? O lo que ocurre es que si yo este incremento lo voy haciendo cada vez más pequeño. Es decir, si este incremento tiende a cero, es evidente que estas rectas secantes tienen pendientes diferentes cada vez la recta secante se va acercando hacia una recta que va a ser completamente tangente a mi función. Por tanto, las pendientes correspondientes también tenderán hacia un número hacia qué número tienden, pues tienden hacia la pendiente de la recta tangente. Por tanto, yo parto de una recta secante determinada, que esto tiene una pendiente concreta. Pero fijaros que a medida que que la H se va haciendo pequeña, fijaros que la H siempre es el incremento horizontal. A medida que esta hecha se hace pequeña. Las pendientes tienden a la pendiente de la recta tangente, pues esta pendiente de la recta tangente no es otra cosa que la derivada. Es decir, la definición de derivada consiste en en la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto, para que exista la recta tangente. Evidentemente la función tiene que ser derivada. No es condición suficiente que sea continua. La función continua no tiene por qué ser deriva. Luego veremos la condición, pero aquí tenemos la definición de derivada en un punto para calcular la derivada en un punto siempre tendremos que calcular este límite. Venga, vamos a hacer un ejemplo. Tenemos la función F de X igual x al cuadrado y vamos a calcular ahora la derivada en el punto dos, es decir, esta función en el valor. Dos. Cómo es la pendiente de la recta tangente? Lo hacemos por definición. Utilizamos la definición de derivada, es decir, aplicamos la definición que ya sabemos. Por tanto, hemos de calcular este límite, que es un límite cero partido por cero. Por tanto, es una indeterminación que ya conocemos cuando sustituyo los valores correspondientes me queda esta expresión que la tengo que simplificar. Al simplificarla, simplemente hacemos la igualdad notable y simplificó los términos a simplificar los términos. Me queda determinación cero entre cero, pero fijaros que es muy fácil de simplificar porque aquí la H la saco factor común, la puedo simplificar, etc. Etc. Total que el límite me queda cuatro. Cómo interpreto este cuatro? Pues interpreto que esta función, la función X al cuadrado, que tiene un gráfico aproximado. De esta manera, más o menos en el valor dos tiene una recta tangente, que es esta de aquí que tiene pendiente cuatro. Qué quiere decir? Pues que cada unidad de la X subiría cuatro unidades. La función en el punto X igual a dos tiene un crecimiento instantáneo de cuatro unidades por cada unidad. Por tanto, la función está creciendo en este momento, es decir, la derivada evidentemente la voy a utilizar para saber si una función en un punto está creciendo o está decreciendo. Es decir, que en este caso la red de tangente, pues como hemos dicho, tiene pendiente cuatro, significa que la función está creciendo en ese valor. También podríamos mirar si la función, por ejemplo, decrece o decrece en los valores donde la derivada de negativo, pues significa que la función está decreciendo. Por lo tanto, la derivada la voy a utilizar para saber la monotonía de una función, es decir, cuando crece y cuando decrece.

El texto proporciona una introducción detallada al concepto de derivada y su importancia en el campo de las matemáticas, especialmente en Bachillerato, destacando su aplicación en el análisis de funciones y la comprensión de su comportamiento en términos de crecimiento y decrecimiento. Comienza con un contexto histórico, señalando el interés de los antiguos griegos en el cálculo de áreas y la recta tangente, y cómo Leibniz y Newton, de manera independiente, desarrollaron el cálculo infinitesimal en el siglo XVI, marcando el inicio del estudio formal de las derivadas. Se explica la tasa de variación media como un concepto preliminar, que mide el crecimiento medio de una función en un intervalo específico, a través de un ejemplo con la función \(x^2 + 3x + 5\). Se destaca la importancia de la derivada para entender el crecimiento instantáneo de una función en un punto dado, diferenciándola de la tasa de variación media que ofrece un promedio de crecimiento en un intervalo.A continuación, se detalla cómo construir la derivada a partir de la pendiente de una recta secante a una función, que se aproxima a la pendiente de la recta tangente a medida que el incremento \(h\) se reduce, llegando a ser la derivada en un punto específico. Se ilustra este proceso con el cálculo de la derivada de la función \(f(x) = x^2\) en el punto \(x = 2\), concluyendo que la pendiente de la recta tangente (y por tanto, el crecimiento instantáneo de la función) en ese punto es 4. Finalmente, se destaca la utilidad de la derivada para determinar la monotonía de una función, es decir, identificar dónde una función está creciendo o decreciendo, basándose en el signo de su derivada.

Historia y concepto de la derivada en matemáticas con ejemplos prácticos. ¡Descubre su importancia!

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