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Santi

Video donde se explican las derivadas sucesivas

Derivadas sucesivas

3.4 Derivadas sucesivas.mp4

Inés

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Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 2. La derivada de una función

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Demi y a este vídeo donde vamos a ver ahora en qué consisten las derivadas sucesivas. A veces es necesario no sólo calcular la primera derivada, sino saber calcular la segunda, la tercera, la cuarta, a calcular muchísimas derivadas de una función y además saber encontrar una fórmula general para todas ellas. Veamos esto en qué consiste? Venga, vamos a por ello. Bien, pues estamos aún en el punto de reglas de derivación. Y en este punto vamos a ver en qué consiste esto de las derivadas sucesivas. A mí a veces me interesa calcular muchas derivadas de una función. Hay funciones que son infinitamente derivas y de hecho hay muchos resultados matemáticos, algunos muy potentes, que me permiten aproximar cualquier función mediante polinomios. Es el famoso polinomio de Taylor. Para este polinomio de Taylor necesito calcular derivadas sucesivas, es decir, muchas derivadas de una misma función. Pero, en qué consiste esto de las derivadas sucesivas? Vamos a hacer un ejemplo. Por ejemplo, cogemos la función logaritmo igual al logaritmo de X. En este caso yo tengo que la primera derivada es uno partido por X. Esto ya lo sabemos de antemano. Pero si vuelvo a derivar uno partido por x, fijaros que aplico la regla de la del producto de la división. En este caso derivada del primero es cero por la segunda, sin derivar menos uno por la derivada del denominador divido por el denominador al cuadrado. Por tanto, la derivada de uno entre X es menos uno entre x al cuadrado. Qué ocurre si hago la tercera derivada? Fijaros que la tercera derivada sería derivada del numerador, que es igual a cero por la segunda, sin derivar menos el primero sin derivar por dos X, que es la derivada del denominador dividido por el denominador al cuadrado. Por tanto X a la cuarta. Si yo simplificó esta expresión, fijaos que me queda dos partidos por x al cubo. Seguro que se es observando un cierto patrón. Fijaos que aquí aparece X Aquí aparece XX al cuadrado. Aquí aparece X al cubo. Cada vez la potencia del denominador va siendo va siendo mayor. Qué pasa cuando derivo la cuarta horas? Cuarta derivada. Por tanto, hago la misma regla del del cociente y finalmente fijaros que me queda menos seis por de por X a la cuarta. Ya estáis viendo que puede haber un cierto patrón en estas derivadas sucesivas. Efectivamente, vemos algunas cosas interesantes. Por ejemplo, que el denominador es una potencia donde el exponente es cada vez mayor. Pero fijaros que el exponente coincide con el orden de la derivada, cuando es derivada al cubo que da el exponente X al cubo en el denominador con derivada, cuarta que da y que se la cuatro. Parece que cuando la derivada es la N no será X a la N. No solo eso, sino que en el numerador aparece el primero positivo, luego negativo, luego positivo, luego negativo. Es decir, que parece como que el signo se va intercambiando. Positivo o negativo, positivo negativo. Efectivamente, si analizamos con calma, veremos que el patrón consiste en lo siguiente En el denominador, efectivamente, coincide con la potencia, con el, con el mismo exponente que tiene el orden de la derivada. Hemos de poner un factor menos uno a la M uno, porque este factor me va a dar positivo, negativo, positivo o negativo en función del orden que esté. Fijaros que cuando la derivada es de orden impar es positivo. Eso significa que es cuando la N es un número impar. Le sumo uno para que sea par y por tanto eso será un valor positivo. Qué pasa en el numerador? Fijaos que en el numerador aparece la secuencia uno uno, dos, seis. Claro. Estos valores de donde salen, pues salen justamente del factorial. Ese sería el tres factorial. Dos factorial, uno factorial, cero factorial. Pero es que aquí estoy en la derivada de orden cuatro y me aparece tres factorial. Aquí estoy en la derivada de orden tres y me aparece dos factorial. Por eso en la formulita hemos de poner menos uno factorial, Es decir, un orden menos, no del orden en que estoy. Cuando yo calculo derivadas enésimas, no? Es decir, que son derivadas sucesivas. Hay muchas funciones que no tienen una fórmula general, pero las que sí que tienen es interesante poderlas encontrar. Vale, Vayamos con otro ejemplo. Vamos a ver cómo calculo yo las derivadas sucesivas de esta función. Yo tengo la primera derivada. Sería la elevada al cociente derivada del numerador por la segunda, sin derivar menos la primera, sin derivar por la derivada del la segunda partido por uno x uno al cuadrado. Muy bien, esto me va a dar uno partido por x uno al cuadrado. Fijaos que X menos X se simplifica. Muy bien. Vamos a la segunda derivada. La segunda derivada sería derivada a la primera, que es cero por la segunda, sin derivar menos uno por dos veces por uno. Hago aquí la regla de la cadena X uno a la cuatro. Fijaros que me queda. Esto me da cero y aquí me queda menos dos, porque un X uno se va a ir con un X uno menos, dos partidos por x uno a la tres. Venga, vayamos a hacer la siguiente F en la tercera derivada, no, la tercera derivada. Fijaos que me queda de la primera, que es cero por la segunda, sin deriva de la tercero, menos menos dos por tres veces x uno al cuadrado por uno dividido por x uno a la seis. Por tanto, si yo simplificó ese término me va a dar cero y aquí me va a dar menos, menos, más Me va a dar dos por tres son seis. Este término se va con este. Me quedaron cuatro. Por tanto, me queda seis dividido por x uno a la cuatro. Qué está sucediendo? Fijaros que cuando es la primera derivada, justamente me queda un uno en el numerador. Cuando es la segunda derivada, me queda un menos dos. Cuando es la tercera, me queda un seis. Fijaros que el signo también parece que va a ir cambiando en el denominador Fijaros que siempre me queda un x uno elevado a un número. Pero este número no es el orden de la derivada, sino que es uno más. Fijaros que cuando es derivada de orden tres tengo elevado a cuatro cuando es derivada de orden. Dos. Tengo elevado a tres, no? Y fijaros que los numeritos que aparecen son el uno en el numerador. Luego aparece un dos, independientemente del signo. Luego aparece un seis. Estos números son los factorial, No, Este sería el tres factorial dos factorial, uno factorial que coincide con el orden de la derivada. Por tanto, si yo hablo la derivada enésima y parece que la derivada enésima va a ser en el denominador un x uno elevada a que pues elevado a n uno. Porque el orden tres Tengo que poner un cuatro, es decir, que ha nevado n uno. Aquí aparece el factorial, que sería estos coeficientes, pero luego tengo que poner el signo menos uno elevado a que pues tenemos que mirar el claro cuando es impar tiene que aparecer un signo positivo, no? Por tanto tengo que poner un N uno, porque cuando la N es uno, pues tiene que haber un dos para que sea positivo. No, cuando no es un tres, tiene que aparecer un cuatro. Por tanto, ya tengo aquí la derivada enésima de mi función. Calcular derivadas enésimas es muy importante, como hemos dicho al principio, porque me permite expresar otro tipo de resultados matemáticos, sea más complejos de manera mucho más cómoda.

El vídeo aborda el concepto de derivadas sucesivas, resaltando su importancia para calcular múltiples derivadas de una función y encontrar una fórmula general para todas ellas. Este concepto es crucial para aproximaciones matemáticas avanzadas como el polinomio de Taylor. Se explica con ejemplos cómo calcular derivadas sucesivas para funciones específicas, observando patrones en el comportamiento de las derivadas a medida que se aumenta el orden de derivación. En el primer ejemplo, se parte de la función logaritmo natural de x, mostrando cómo cada derivada sucesiva revela un patrón tanto en el numerador (factoriales decrecientes) como en el denominador (potencias incrementales de x), además de alternancia en los signos positivos y negativos. Se destaca la relación entre el orden de la derivada y el exponente en el denominador, así como la aparición de factoriales en el numerador.El segundo ejemplo describe un proceso similar para otra función, resaltando la importancia de observar cómo el orden de la derivada afecta la forma de la expresión resultante, especialmente en términos de potencias y factoriales. Ambos ejemplos ilustran la importancia de las derivadas sucesivas en la matemática avanzada, especialmente para la formulación de aproximaciones como el polinomio de Taylor, resaltando cómo patrones en las derivadas pueden simplificar la comprensión y cálculo de funciones complejas.

Cálculo de derivadas sucesivas: ejemplos y patrones

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