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Santi

Video donde se pueden ver como se hace el estudio de la derivabilidad de una función en un punto. En este vídeo aparece la función valor absoluto.

Estudio de la derivabilidad

4. Derivabilidad de una función.mp4

Inés

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 2. La derivada de una función

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Dami y a este vídeo donde vamos a profundizar sobre la derivada de una función en un punto. En otros vídeos ya hemos tratado este concepto de deriva libertad, pero ahora vamos a hacer ejemplos de estudio de deriva en un punto, de manera un poquito más profunda. Venga, vamos a por ello. Bien, pues venga, vamos a empezar a estudiar esta derivada de una función en un punto, repasando la idea general, cómo sabemos que una función es deriva en un punto? Pues tienen que pasar dos cosas. Básicamente, la función tiene que ser continua en el punto y los límites de la derivada tienen que coincidir. Es decir, tienen que coincidir estos límites de la derivada, pero previamente tiene que haber una continuidad. Si no, no puede ser, porque, claro, podría ser que la función no fuera continua imaginarnos este punto, no el punto a que la función y era así y la función viniera así. En este caso, las derivadas laterales pueden coincidir. Las derivadas laterales podrían ser cero. No, porque por los dos lados la pendiente podría tender a cero. Pero claro, no es continua, Por tanto, en el punto a no es deriva. Eso quiere decir que primero hemos de mirar la continuidad y a continuación hemos de mirar esta otra condición. Vale, vayamos a hacer algunos ejemplos. Por ejemplo, destruya la deriva de esta función en el X. Igual a E como hemos de mirar la continuidad. Lo primero que me doy cuenta es que el dominio de esta función, claro, si yo miro el logaritmo de X menos uno que sea cero me doy cuenta que esto ocurre si la X es el número B. Por tanto, el dominio va a ser de cero al número e unión del número E a de infinito, porque aquí sólo tiene sentido para valores positivos. Claro, el número e la función ya no es continua, Por tanto, ya no puede ser deriva, vale? Es decir, en este caso está claro que la función es deriva porque ya no es con qué pasa. En este otro ejemplo, la función de coseno de P partido por x dos en el X, igual a cero. Parece que en El cero no hay ningún problema. Veamos qué pasa. Efectivamente, cuando miro el límite en el cero me da cero, es decir, que es igual que la imagen de cero. No hay ningún problema. La función es continua en el cero y si hago la derivada, no aplicando la composición de funciones, resulta que ahora tengo que hacer el límite de la derivada en el cero para ver si realmente coincide en los límites laterales. Pero claro, evidentemente que coinciden porque cuando hago el límite en el cero, aquí no tengo en cuenta si derecha o izquierda porque me da y cuartos. En los dos casos la función es continua y es deriva en el cero. Fijaros el gráfico de la función F de X y en el cero su recta tangente. Existe la recta tangente. Por lo tanto, la función es deriva. Venga, vayamos. Con este ejercicio, que es un ejercicio típico de selectividad, es muy importante estudiar la continuidad y labilidad. En función de estos dos parámetros, lo primero que miro es la continuidad. Me doy cuenta que la función es continua, no? Y deriva si la X es menor que uno? No. La función es continua y deriva porque está formada por funciones continuas y derivas. Si es mayor que uno pasa lo mismo. Por tanto, ya he mirado fuera del uno he mirado lo que ocurre. Vamos a ver qué ocurre en el uno. Lo primero que miro es la continuidad. Vamos a mirar la continuidad en el uno para eso, en los límites por la izquierda. Es decir, en este caso X al cuadrado más BX, menos tres más. B menos tres. Tiene que ser igual al límite por la derecha, pero el límite por la izquierda en este caso me da a más B menos tres. El límite por la derecha en este caso sería uno entre X cinco. Por tanto, sería uno cinco que sería igual a seis. Si yo igual a estos dos límites. Condición necesaria es que a más B sea igual a nueve. Claro. La imagen en el uno también me va a dar seis. No, no lo he comprobado, pero bueno, efectivamente, da seis. Por tanto, ya tengo esta condición. Esta condición es una condición de continuidad. Para que sea continua, tiene que pasar esta igualdad y ahora vamos con la derivada. Es decir, ya tengo la la condición de continuidad, que además b sea igual a nueve. Por tanto, lo que hago es la derivada, las derivadas de cada uno de los trozos dará dos a x más B Si la X es menor que uno y menos uno entre x al cuadrado. Si la X es mayor que uno que tiene que pasar, pues que los límites laterales de esa derivada también coincidan límite por la izquierda del uno de dos a x más B tiene que ser igual a dos a más B límite por la derecha del uno de menos uno partido por X al cuadrado es igual a menos uno. Por tanto, tengo que por un lado, la a más B tiene que ser igual a nueve, que es la condición de continuidad. Y por otro lado, dos a más B tiene que ser igual a menos uno, que es la condición de derivada. Si simplificó un sistema, resuelvo este sistema por reducción. Fijaros qué es lo que pasa que al sumar me da a aquí simplifica y aquí me da menos diez. Por tanto, a es igual a menos diez. Y si ahora sustituyo en esta ecuación, en la B tiene que ser igual a diecinueve. Por tanto, si la es menos diez y la B es diecinueve, acabamos de demostrar que esta función es continua. y es deriva en todos sus puntos. Efectivamente, fijaos que la función la tengo aquí para estos dos valores y fijaros el gráfico En el punto uno existe la recta tangente. Por tanto, este gráfico no solo es continuo, sino que también es derivado. Venga, vayamos con este otro ejercicio vamos a ver la derivada de esta función en el intervalo cero dos Pi. Aquí tenéis el gráfico. Parece que hay un valor, el valor pi donde no es deriva. Vamos a verlo. Esta función, como es una función valor absoluto, la puedo definir en forma de función definida a trozos. Esta función sería el seno de X si al seno de X es positivo y menos al seno de X si al seno de X es negativo. Pero claro, cuando el seno de X es positivo acordaros que yo tengo la circunferencia One Meca, que me ayuda mucho en estos casos, cuando el seno es positivo, pues el seno es positivo. Si el ángulo va desde cero a El ángulo Pi, Por lo tanto, la función va a ser es uno de X. Si el ángulo va desde cero a Pi, por tanto, sería en esos valores y menos en el seno de X. Si el ángulo va desde Pi a dos Pi, el seno es negativo, no en entre Pi y dos Pi. Por tanto, si el ángulo va en este intervalo, por tanto hemos de estudiar esta función. La derivada es continua. Esta función parece que sí. Miramos el gráfico? Parece que sí, pero lo hemos de mirar. Pasa en el número pi, que es el valor donde para las dos funciones el valor de Pi por la izquierda sería el signo de X. Esto me daría signo de pi, que es cero y y por la derecha del seno de X también me da cero. Por tanto, sí que es continuo. Y además la imagen en el PI me da cero. Por tanto, es continuo. Es deriva Esta función es deriva esta función? Pues vamos a ver si es deriva para ser derivada. Lo vamos a hacer aquí arriba en pequeñito. Hemos de hacer la derivada de la función. Fijaros que la derivada de la función sería derivada al seno, que sería el coseno. Si la X está la X está entre cero y P y la derivada del seno sería el menos coseno. Sí, está entre Pi y dos pi. Fijaros si hago el límite ahora de esta función, no de coseno y menos coseno. Fijaros que en el número pi en el valor pi no el límite. Por un lado me da uno por otro lado, me da menos uno. Vale, fijaros que es lo que pasa con esta recta tan gentes? No, que por un lado me da menos uno. Por otro lado, me da uno y por tanto, en el número pi no es deriva, ya se ve gráficamente que no lo es, pero también lo hemos comprobado haciendo los límites laterales de la derivada. Es decir, que tengo una función que es continua en todos los reales, pero que no es deriva justamente en el valor Pi.

El vídeo se centra en explicar cómo determinar si una función es derivable en un punto específico, resaltando dos condiciones esenciales: la continuidad de la función en el punto y la coincidencia de los límites de su derivada. Se proporcionan varios ejemplos para ilustrar estos conceptos:1. Se explica que una función solo puede ser derivable en un punto si es continua en ese punto y si los límites laterales de su derivada coinciden en él.2. Se analiza el caso de una función con dominio limitado y se muestra cómo la discontinuidad en un punto específico (como el número e en el primer ejemplo) impide que la función sea derivable ahí.3. Se presenta un ejemplo donde la función es continua y derivable en un punto, destacando la importancia del límite de la derivada y cómo este debe coincidir desde ambos lados del punto.4. Se discuten ejercicios típicos de selectividad, donde se estudia la continuidad y derivabilidad de funciones compuestas en un punto crítico, estableciendo condiciones para que la función sea tanto continua como derivable en ese punto.5. Se aborda un caso donde la derivabilidad de una función definida a trozos se examina en un intervalo específico, identificando un punto (pi) donde, a pesar de la continuidad, la función no es derivable debido a la discrepancia en los límites laterales de la derivada.A través de estos ejemplos, se subraya la importancia de verificar tanto la continuidad de la función en el punto de interés como la coincidencia de los límites de la derivada para determinar la derivabilidad de la función.

Profundizando en la derivada de una función en un punto

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...