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Tercera parte tema 15

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Secundaria - Matemáticas

Tema 15 Ecuaciones Diofanticas

Si M es un número entero positivo se dice que dos números A y B son congruentes. Módulo M Si existe a menos B es igual a K M. Es decir que es un multiple B M y simbólicamente se escribe con tres rayas A Es congruente. B módulo M Vamos a ver algunas cosas de este teorema. Si ya es congruente con su C del módulo M y B también lo es Módulo M. Entonces la suma también lo va a ser. Si estos dos números son congruentes con A y con B módulo M, entonces el producto también lo es. Módulo M y si a es comúnmente con a su cero módulo M y H y h es un número distinto de cero. El producto de A por H también es comúnmente con a su cero h módulo M y si H A y h de sub cero. Es decir, el máximo común divisor es uno y a es común. Modus sub cero modu m entonces a es comúnmente con a sub cero h modu m la ecuación en congruencia a d x congruente con b módulo M por ser comúnmente módulo m adx con b podemos poner escribir que adx menos b es igual a un cierto y por M. Y despejando esto tendríamos que a x menos I m es igual a mí Y esto es una ecuación dif del tipo que hemos visto anteriormente nada escribíamos así ax más vi igual a un cierto C y habíamos puesto que la solución general de este tipo de ecuaciones es de este tipo como X sub cero b medios por T E igual a I sub cero menos a medios por t. Vamos a estudiar el ejemplo ahora la siguiente ecuación que es a x congruente con dos módulos, seis pasan despejando esto De esta manera tendríamos no que cuatro x menos dos es igual a seis y pasando el seis al término izquierdo de la igualdad tendríamos que cuatro x menos seis y igual a dos. Y ahora bien, como el máximo común divisor de cuatro y de seis es dos y divide a dos. Pues entonces esta ecuación dif tiene solución entera. Y lo vamos a buscar por el algoritmo de equis, no? Como vemos aquí seis es igual a uno por cuatro. No, pero vamos a escribir dieciséis es igual a uno por cuatro más dos, es decir, dividiendo seis igual a divisor cuatro por ciento, uno más. Resto dos. Y ahora, como cuatro es igual a dos por dos más cero. Pues habríamos terminado. Y entonces, despejando de la ecuación, se tiene que menos uno por cuatro menos, menos uno por seis es igual a dos y habríamos encontrado que la solución particular a la actuación DIF es X sub cero igual a menos uno e I sub cero igual a menos uno. Y por tanto, la ecuación general apoyándome en esto que hemos visto aquí será igual X será igual a X cero que es menos uno B. Pero si nos fijamos en la ecuación que tenemos aquí delante es es menos seis menos seis dividido dos por t. Es decir, que la solución general será X igual a menos uno menos tres T. Y con esto habríamos concluido. Vamos a ver el teorema chino de los restos Sean M uno MN números enteros positivos oprimo dos a dos. Es decir, que el máximo como divisor de M. Y M. J es uno Si y es distinto de J. Y Sean B uno BN entre los cuales quiera. Entonces el siguiente sistema de congruencia es X congruente con B uno módulo M uno X congruente con BN módulo M N. Pues es una solución única entre cero y el producto de los N menos uno primeros módulos y además una solución única entera. Módulo el producto de los módulos. Vamos a ver la demostración previamente vamos a definir M como el producto de los módulos M uno por m N y vamos a llamar M su a la división entre m dividido m minúscula Y entonces como m uno m n son como primos M su y m y minúscula también lo van a ser. También van a ser primos entre sí y por por lo tanto, por el lema de Beth, podemos encontrar dos números S K T K tal que s K por m k mayúscula más tk por m K minúscula es igual a uno, ya que el máximo común divisor es uno y por lo tanto, b K s K m k El producto de aquí pasa como con cero módulo M. J. Si y es distinto de J y congruente a su vez con b K módulo M en consecuencia b uno s uno m uno más puntos más. B n S N M n Igual es congruente con B. K. Módulo M K. Y esto es cierto para todo K desde uno hasta m y por lo tanto esta será la solución del sistema de congruencia este. Y además, esta solución es única porque puesto que si programamos que existen dos soluciones X e y restando van a ser comunmente con cero un módulo M K para todo K desde uno a esta N, es decir, que X sí es múltiple de todos los MK y por lo tanto también múltiplo de como mínimo común múltiplo que al ser cumplimos entre sí. O mejor dicho, juego primos es m y por lo tanto, X es igual a un congruente módulo i es congruente con i módulo M Vamos a resolver el siguiente sistema de congruencia X con veinte con uno módulo dos con veinte con cuatro, módulo siete y congruente con tres módulo ocho, siete y once son co primos aplicando el teorema chino de los restos. Tenemos que m sería el producto de los tres módulos. Luego, por lo tanto, sería dos, siete, dos por siete por once, igual a ciento cincuenta y cuatro m uno Recordamos que m sui es igual a m dividido m sui minúscula. Por lo tanto, m uno es setenta y siete m dos veintidos m tres k como m uno, es decir, setenta y siete y m uno minúscula que es dos son co primos. Pues entonces se trataría de encontrar un cierto s uno que multiplicado por setenta y siete más T uno por dos fuese igual a uno. Una solución particular de esta ecuación que podemos hacerlo por el agua de MEC o un poco a ojo, es uno menos treinta y ocho. Por lo tanto, ya tenemos que ese uno es uno. Del mismo modo, calculamos S dos s dos por veintidós que era m dos por un cierto t dos por m minúscula dos que era el módulo P siete igual a uno y obtenemos que una solución particular es uno menos tres. Por tanto, s dos vale uno y por último, calculamos ese tres. Ese tres por catorce, más de tres por once es igual a uno y una solución particular es cuatro cinco. Por lo tanto, ese tres va a valer. Cuatro. Recordamos que la solución general por el teorema de chino de los restos era B uno por S uno por m uno más B dos por s dos m dos más B tres por S tres m tres y entonces B uno teníamos que ir a uno puesto que esto era B uno de dos y veces. Por lo tanto, esto es igual a uno por uno por m uno que a setenta y siete más B dos tres cuatro por S uno por s dos. Perdón, Qué es uno y por veintidós más b dos, que es tres por s tres, que es cuatro y por catorce. Y esto da e trescientos treinta y tres que es congruente con veinticinco módulo, ciento cincuenta y cuatro, que era el producto de los tres módulos. Sí, y por lo tanto solución única módulo ciento cincuenta y cuatro. Es decir, que x será igual a veinticinco más ciento cincuenta y cuatro T para cualquier número entero. También lo podríamos haber hecho de esta siguiente forma, no como X uno dos no se puede escribir como X igual a uno más dos veces T para algún t entero al ser múltiplo de dos, pues esta parte de aquí será común veinte con cero módulo dos. Bien. Ahora, sustituyendo X igual a uno más dos T en la siguiente ecuación X con veinte cuatro. Módulo siete. Pues tenemos uno más dos T con con cuatro. Pasamos el uno al segundo miembro y tenemos que dos tres con veinte siete en módulo T. De donde podemos escribir esto como una ecuación Dif como dos T siete y igual a tres. Sí, puesto que tiene que ser en la solución tres más un múltiple de siete. Si resolvemos esta ecuación Dian, dado que dos y siete son primos, podemos escribir siete coma dos por tres uno y luego ya sería, eh, el resto cero. Luego en la solución a la ecuación Def sería menos tres por dos más siete igual a uno uno. Entonces X será igual a menos tres por este desde aquí dividido el máximo como un divisor. Esto ya lo sabemos del tema anterior que es uno todo esto da menos nueve. Por eso dice aquí que T se puede escribir como menos nueve más siete veces s para un cierto s entero. No, puesto que el módulo era siete ahora continuamos escribiendo esto dentro de la siguiente ecuación, no, es decir, X será igual a uno dos T Como hemos averiguado que T ya va a depender de un S lo podemos escribir y lo tenemos que multiplicando menos nueve, dos dieciocho menos dieciocho. Una menos diecisiete catorce s para un s entero Y ahora vamos a por la última ecuación X como mediante con tres módulo once. Entonces tendríamos que menos, menos diecisiete catorce veces S es común. Veinte tres Módulo once Si solo si catorce s al pasar este menos diecisiete sumando al segundo lado de la igualdad, catorce es como veinte veinte módulo once, por lo que es lo mismo comúnmente con nueve un módulo once. Volvemos otra vez a plantear una posición bio catorce s más once veces Z igual a nueve cuyas soluciones van a ser igual que hemos hecho anteriormente. Treinta y seis más once veces K para algún entero sustituyendo estes en la ecuación anterior, tenemos que esto es menos diecisiete más catorce paréntesis treinta y seis once K. Y esto es igual a cuatrocientos ochenta y siete más ciento cincuenta y cuatro K para un tan entero, pero cuatrocientos ochenta y siete es congruente con veinticinco módulo, ciento cincuenta y cuatro. Luego habríamos llegado a la misma conclusión que antes que X es la forma veinticinco ciento cincuenta y cuatro veces R para algún R cero. Y esto sería todo muchas gracias.

El texto explica conceptos y teoremas relacionados con la teoría de números, especialmente la congruencia de números y el Teorema Chino del Resto. 1. **Definición de Congruencia:** Dos números enteros \(A\) y \(B\) son congruentes módulo \(M\) si la diferencia \(A - B\) es un múltiplo de \(M\), es decir, \(A \equiv B \mod M\).2. **Propiedades:**    - Si \(A \equiv C \mod M\) y \(B \equiv D \mod M\), entonces \(A + B \equiv C + D \mod M\) y \(AB \equiv CD \mod M\).   - Si \(A \equiv 0 \mod M\) y \(H \neq 0\), entonces \(AH \equiv 0 \mod M\).   - Si el máximo común divisor de \(H\) y \(M\) es 1 y \(A \equiv 0 \mod M\), entonces \(A \equiv 0 \mod HM\).3. **Ecuaciones en Congruencias:** Se pueden resolver ecuaciones de la forma \(AX \equiv B \mod M\) mediante la manipulación algebraica y la búsqueda de soluciones enteras.4. **Teorema Chino del Resto:** Si \(M_1, M_2, \ldots, M_n\) son enteros positivos coprimos dos a dos y \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) son enteros cualquiera, entonces el sistema de congruencias   \[X \equiv B_1 \mod M_1, \]   \[X \equiv B_2 \mod M_2, \]   \[\vdots \]   \[X \equiv B_n \mod M_n\]   tiene una solución única módulo el producto \(M = M_1M_2\ldots M_n\).5. **Solución de Sistemas de Congruencias:** Se describe un método para resolver sistemas de congruencias utilizando el Teorema Chino del Resto, que implica encontrar soluciones únicas y generales para los sistemas propuestos.En resumen, el texto detalla cómo trabajar con congruencias

Teorema Chino de los Restos y Resolución de Sistema de Congruencias

Teorema Chino de los Restos y Resolución de Sistema de Congruencias

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