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Santi

En este video aparece el estilo de integral casi inmediata en que se puede deducir estructura de logaritmo y de potencia por la derivada.

Primitivas casi inmediatas (I)

2.1.Integral casi inmediata logaritmo y potencia.mp4

Inés

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 5. Cálculo de primitivas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a you Cadem y a este nuevo vídeo de la unidad cinco. Cálculo de primitivas. En este caso, ya vamos a entrar en el tema en la unidad dos, en el punto dos, donde vamos a ver primitivas, casi inmediatas. Vamos a ver diferentes estructuras y ver cómo podemos manipular nuestra función para poder calcular la primitiva de manera sencilla. Venga, vamos a por ello. Bien, pues estamos en el punto dos primitivas, casi inmediatas. Es decir, que no son inmediatas como las que hemos visto en otros vídeos, sino que aquí hemos de manipular un poquito nuestra función para poder obtener esta primitiva. Veamos algunas de las estructuras más importantes. Qué pasa con las funciones, por ejemplo, cuando tenemos integrales que se parecen a una primitivas En este caso, fijaros que si yo tuviera integrales de este estilo no integral de una constante entre x algo yo podría casi casi dar con su resultado. Fijaros que puedo utilizar esta integral. La integral del logaritmo integral de uno partido por X es el logaritmo de valor absoluto de X. Claro, si yo quiero integrar esta función cuando yo derivo, no cuando yo derivo X por logaritmo de x masa. Qué pasa cuando yo derivo esta función? Pues fijaros que la constante que esta multiplicando no hay que derivarla aquí sería uno partido por x A por la derivada de lo de dentro, que sería uno cero. Es decir, que lo que me daría sería cada partido por x A, que es justamente lo que aparece dentro de la integral. Eso significa que hay muchas integrales que manipulando un poquito o fijándome un poquito en la estructura que tienen, puedo determinar su resultado prácticamente sin hacer operaciones. Este es el caso de las integrales casi inmediatas. Vamos a ver una primera estructura, la estructura del logaritmo, es decir, una estructura donde el resultado va a estar en función del logaritmo. Vale, La pregunta que nos hacemos es qué ocurre cuando tenemos un cociente y en el numerador aparece la derivada del denominador, es decir, que aparece un cociente entre un número entre una expresión y otra. Pero el numerador está a la derivada del denominador. Fijaos qué pasa. Imaginamos que tenemos una función cualquiera U de X, no? Cuál es la derivada de esta función? No la derivada de esta función sería como es una función compuesta logaritmo de una función logaritmo de U. No sería uno partido por U por U prima no, porque hay que hacer la regla de la cadena. Eso significa que la integral de U prima partido por U. Si yo tengo esta estructura, una función no derivada de una función entre la propia función, esto va a ser siempre el logaritmo del U. Por tanto, aquí tengo ya una pequeña estructura, una primera estructura para poder encontrar integrales de manera cómoda. Es decir, que tenemos esta primera estructura que podemos llamar la estructura del logaritmo y que realmente aparece muchísimas en muchísimas ocasiones. Vale, vamos a hacer un ejemplo. Imaginemos. Tenemos esta integral integral de X partido por X Cuadrado cinco. Fijaros que en el denominador aparece una función que lo puedo llamar u y esta función la derivada es igual a dos X. Claro. En el numerador de esa integral no aparece dos x aparece solamente X. Pero ya sabemos que esto no es un problema, porque yo podría multiplicar por dos el numerador. El dominador lo dijo igual, pero entonces debería dividir por dos fuera de la integral para poder compensar. Es decir, que ahora sí que ya me aparece la el numerador me parece u prima cuando en el denominador me aparece la función u tenemos la estructura del logaritmo, es decir, que sería un medio por el logaritmo de X al cuadrado. Cinco más constante. Cuando hacemos lateral de aparece el logaritmo. Siempre hay que ponerlo en valor absoluto. Lo que ocurre que en este caso lo de dentro del logaritmo siempre es positivo. Aquí no haría falta, vale, pero siempre hay que pensar el logaritmo en valor absoluto. Vale, vayamos con otro ejemplo la integral de la tangente, que en otros vídeos ha salido y no sabíamos calcular la tangente es el seno partido por el coseno y fijaros que aquí el seno no es casi casi la derivada del coseno. No sigo. Si derivo el coseno no me da el seno, me da menos el seno, por tanto, el numerador no es exactamente la derivada. Sólo le falta un pequeño signo. Si yo se lo pongo, lo tengo que poner fuera para poder compensar el ponerle un signo es como se multiplicará por lo menos uno. Por tanto, aquí me daría menos uno no? O menos el logaritmo del valor absoluto de El coseno. Esa sería la integral de la tangente. O otro ejemplo es otro ejemplo en el que si este denominador fuera la función u la derivada de esta función, u sería tres veces elevado a X. El numerador no es tres veces elevado a X, pero lo puedo conseguir si multiplico por tres y por tanto divido por tres fuera de mi integral. Por tanto, ahora ya tengo un tercio y la integral es un partido prima partido por U. Por tanto, el logaritmo de tres x menos ocho más constantes. Por lo tanto, usted tendría la integral. Vaya, vayamos con otra estructura, estructura de potencia. Fijaros que qué pasa cuando yo tengo una función? No. Imaginaos que tengo una función y sabemos que su derivada no. Si yo tengo una potencia de una función u elevado a N es una composición de funciones, Por tanto, la derivada sería n por u elevado a n menos uno por u prima, no por la derivada de U. Aquí tengo que aplicar regla de la cadena. Vale, Qué pasa? Pues que muchas veces yo tengo integrales donde aparece una función elevada a un número, no una en forma de potencia multiplicado por su derivada por la derivada de la función. Cuando tengo esta estructura directamente podría decir que es igual a U elevado a n uno partido por n uno. Y esto por qué? Bueno, pues que si derivo esta expresión no fijaros que si yo derivo esta expresión hago la derivada aquí tendría lo voy a hacer aquí tendría uno partido por uno, no, que es una constante por uno por u elevado n por la derivada de u que suprima cero. Este uno con uno se simplificaría y quedaría u an por u prima, que es lo que tengo dentro de mi integral. Por tanto, efectivamente, la primitiva de esta estructura es la que veis en pantalla. Es muy importante esta integral, porque en muchas ocasiones aparecen multiplicaciones de funciones, pero están relacionadas de esta manera. Vamos a ver algunos ejemplos. Aquí tenemos la función u no, que es cuatro x al cuadrado, menos uno que está elevado a cinco y fuera aparece tres x. Claro, tres x no es la derivada de U que sería ocho X, pero puedo conseguir que en lugar de un tres aparezca un ocho. Cómo lo consigo? Bueno, pues saco el tres fuera de la integral lo puedo hacer directamente, pero bueno, voy a hacer poquito a poco en este primer ejemplo, primero fuera el tres de la integral y ahora necesito un ocho. Por lo tanto, puedo añadir el ocho y divido por ocho para compensar, Es decir, que me daría tres o octavo por la integral de toda esta expresión. Y aquí es donde aplico la estructura. Aquí sería cuatro x a la dos menos uno, que sería con función u elevado a n uno. Por tanto, elevado seis partido por seis, Es decir, que tendría que el tres en el seis se simplificaría. Me quedaría en un partido por dieciseis cuatro x al cuadrado, menos uno elevado a seis par más constante. Eso sería mi integral. Vale. En este otro caso, la función u fijaros que sería el coseno de X la derivada de U sería derivada el coseno, que sería el menos seno. Aquí no tengo el menos seno, sino que tengo el seno. Por lo tanto, lo que hago es ponerle un menos dentro y un menos fuera. Y al ponerle al menos al menos dentro y fuera. Ahora ya tengo No, esto de aquí sería la derivada y esto de que sería un elevado a tres, por tanto, menos un elevado a cuatro partido por cuatro, es decir, menos coseno a la cuarta partido por cuatro. Siempre la misma idea. Pero por tanto siempre fijaros que cuando tengo un producto de funciones, pero una es la derivada de la función que aparece dentro, no de la composición, pues siempre puedo aplicar esta estructura. Vale, y en este caso pasa algo parecido. Fijaos que aquí tengo la función U, que es la que tengo dentro de la raíz cuadrada. Fijaros que aquí podría tener la expresado en forma de potencia. Es decir, que yo tengo siete x por tres x al cuadrado, menos siete. Se llama siete elevado a un medio la potencia la tengo igual, pero tengo el exponente un medio claro. Qué pasa? Que la derivada de esta función U es seis X? No. Y yo tengo un siete. No tengo un seis. Claro. La manera correcta de hacerlo sería saco el siete fuera de la integral. Me quedaría usted aquí? Necesito un siete. Perdona, necesito un seis multiplico por seis, porque sería la derivada de la U y divido por seis para poder compensar por tanto me quedaría siete sextos por Y ahora ya tengo, No, eso sería u prima. Y eso sería u elevado a un medio. Por tanto, siete sextos de U, que sería tres x al cuadrado, siete elevado a un medio uno, es decir, tres medios dividido por tres medios. Es decir, más constante es decir, que si yo simplificó aquí me va a dar catorce partido por dieciocho, Por tanto, siete partido por nueve de raíz cuadrada de tres x al cuadrado. Siete elevado a tres. Más constante ya sería esta integral ya si le dejamos bien simplificada.

En este vídeo de la unidad cinco de you Cadem, se aborda el cálculo de primitivas, centrándose en las "primitivas casi inmediatas". A diferencia de las primitivas directas vistas anteriormente, estas requieren cierta manipulación de la función para facilitar su cálculo. Se presentan dos estructuras clave para encontrar estas integrales:1. **Estructura del logaritmo**: Se menciona que si tenemos una integral de la forma \( \frac{U'}{U} \), donde \( U' \) es la derivada de \( U \), la solución es \( \log |U| + C \). Se ejemplifica con integrales que involucran funciones como la tangente y se muestra cómo ajustar el numerador para que coincida con la derivada del denominador.2. **Estructura de potencia**: Se menciona que si la integral tiene la forma \( U^n U' \), su primitiva es \( \frac{U^{n+1}}{n+1} + C \). Se ilustran ejemplos donde se ajusta el numerador para que sea la derivada del denominador, aplicando la regla de la cadena.El vídeo enfatiza la importancia de reconocer estas estructuras para simplificar el proceso de cálculo de primitivas, utilizando ejemplos concretos para facilitar la comprensión de los conceptos presentados.

Cálculo de Primitivas: Estructuras y Ejemplos de Integrales Casi Inmediatas

Resumen con marca de tiempo

¡Ey! Que seguro que esta no es la única duda que tienes...