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Santi

En este primer video se van a explicar los límites donde aparecen cocientes de polinomios y entre otras expresiones con raíces. Se explica la indeterminación infinito entre infinito.

Indeterminación infinito entre infinito

1.3.1 indeterminación infinito entre infinito cálculo de límites.mp4

Inés

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Jordi

Exámenes

Ejercicios resueltos

Matemáticas II | Selectividad

Tema 1. Límites y continuidad

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka, Demi y a este tema de límites y continuidad. Vamos a tres, que es cálculo de límites cuando la X tiende a mas infinito. Venga, vamos a por ello. Bien, pues vamos a hacer cálculos cuando la X tiende a infinito. Y para eso vamos a dividir ahora este tema en diferentes vídeos. Empecemos con la idea de qué pasa con las indeterminación infinito entre infinito. Cuando hay un límite, cuando X tiende infinito, lo primero que hago es sustituir la X por infinito. Eso es lo primero que hago y comprobar hacia dónde tienden las funciones. Ya sabemos que el orden de las funciones puede cambiar, dependiendo de si la función es un logaritmo, es un exponencial o es un polinomio. Sabremos cuál de cuál de ellas tiende a infinito más rápido. Si tenemos una determinación, pues la tendremos que resolver. Venga, vaya, Veamos el infinito intro infinito. Cómo se resuelve para resolver infinito entre infinito. Lo que hacemos es sustituir la X por infinito. Y miramos también los órdenes del nombrar y del denominador. Por ejemplo. Vamos a hacer varios ejemplos. En este caso tenemos un límite cuando tenemos un polinomio de grado dos. Y el denominador también es un polinomio de grado dos son dos polinomios con el mismo orden, No, en este caso es un infinito entre infinito. Pero no sabemos cuál de las dos tiende a infinito. Más rápido, porque de hecho tienden aún más o menos a la misma velocidad. Lo que hacemos es dividir. En este caso, cuando son los polinomios dividir cada término por el grado mayor, en este caso X a la dos. Es decir, detecto cuál es el? Voy a poner el puntero que no lo había de activado. Detecto cuál es el grado mayor? No. En este caso sería el X a la dos y divido cada te entre x a la dos. Por tanto, si tengo tres x a la dos entre x a la dos menos cinco x entre x a la dos más cuatro entre x a la dos fijaros que en el primer término se simplifica. Me queda tres en el segundo término se simplifica. Me queda cinco entre X y en el tercer término, cuatro entre x a la dos. Fijaros que me queda este resultado. Lo mismo haríamos en el denominador si simplificamos los términos y al volver a hacer el límite hay unos términos que tienden a cero. Fijaros que estos términos tienden a cero. Por tanto, el resultado directamente es tres medios. De hecho, en general, cuando tengo dos polinomios, si los grados son iguales, no siempre que tenga polinomios los grados son iguales. Puedo hacer el mismo procedimiento y al final me va a quedar la división de los coeficientes de grado mayor. Por tanto, al final el límite va a ser a su pene entre B su pene. Si no pasa esto, si uno es es mayor que el otro, pues el resultado va a ser infinito o cero, dependiendo de cuál de los dos tiene un orden superior o numerador o el denominador vale, Pero qué ocurre cuando tengo raíces? Porque aquí ya no son polinomios? Aquí tengo raíces. Cuando tengo raíces, me tengo que fijar en lo siguiente Fijaros en este ejemplo Raíz cuadrada de X al cuadrado dos. En este caso, este término es similar, entre comillas a raíz cuadrada y X al cuadrado, no que es X. Por tanto, este término es similar a X cuando la X tiende a infinito. Evidentemente no son iguales estos términos pero cuando la X tiende infinito el X al cuadrado más dos dos este dos, cuando damos la raíz cuadrada afecta muy poco en el límite. Por tanto, podemos decir que el numerador no. Si miro el numerador, esto tiene grado uno y el denominador también tiene grado uno. Por tanto, es como si tuvieran el mismo grado. Es decir, el mismo orden es un límite infinito entre infinito, pero que van cada uno a la misma velocidad. En este caso, lo que hay que hacer es hacer lo mismo que antes dividir por el término de grado mayor, que en este caso sería X, porque aunque veáis un X al cuadrado dentro de la raíz, al hacer raíz cuadrada, es como si fuera una X. Por tanto, dividimos todo entre x y se simplifican los términos cuando divido entre x en una raíz. Tengo que meter dentro de la raíz elevándolo al cuadrado. Es decir, que si tengo X al cuadrado dos y esto lo divido por X Aquí lo que hago es dividir, dividir entre x al cuadrado. Vale, divido entre x al cuadrado porque el índice es dos. Lo meto como un X al cuadrado, simplificó y de esta manera obtengo el resultado. Sería un cuarto en ese otro ejemplo. Fijaros que me piden que determine el valor de P para que el límite sea cero. No para que este límite sea cero o para que dé más infinito tendré que analizar los grados del numerador y del denominador para ver qué grado tiene cada uno. Fijaros que el numerador tiene grado dos. No, porque esto es grado dos y la raíz es como si fuera un grado dos y el denominador tiene grado P siempre que la P sea mayor que dos porque aquí tengo un grado dos en este término es como si fuera un grado dos. Por tanto, como aquí tengo una p Si la P es mayor que dos, pues tendré grado P. Pero si la P es menor que dos, la P es cero uno Tendré grado dos. No será el máximo grado del denominado. Por tanto, tendré que analizar dependiendo de la P, no. Cuál será el valor de este límite? Claro, si la P es menor o igual que dos No, el grado del denominador es dos. Y si es y grado P si es mayor que dos. No, que es lo que hemos hecho antes. Si queremos que el límite de cero no es porque el denominador tiene un grado mayor, no que el numerador. Por tanto, en este caso, para que el grado sea mayor, es obligatorio que la P sea mayor que dos. Por tanto, para que el límite de cero la P tiene que ser mayor que dos. Pero para que el límite de infinito Qué es lo que pasa? Que el numerador tiene que ser grado mayor que el denominador, Pero claro, el denominador El grado ya es dos como mínimo, no, por tanto es imposible que el numerador de un grado mayor que el denominador Vale, vayamos a hacer ahora un par de ejemplos directamente en la pizarra. Yo tengo este límite cuando en X tiene infinito y fijaros los grados en el numerador Tengo grado cinco, No, aquí tengo grado cinco y aquí tengo grado cinco Y el denominador También tengo grado cinco porque aquí tengo grado cuatro. Pero esta raíz tengo grado cinco. Tengo que dividir por X a la cinco. Es decir, que tengo límite cuando aquí está infinito al dividir por a la cinco obtengo cinco. No porque este término se simplifica más raíz cuadrada de tres x a la diez entre x a la diez. Fijaros que cuando elevo al X a la cinco tengo que elevar al cuadrado. No dentro de la raíz, menos cuatro X a la dos y entre x a la diez Y en el denominador tendré tres entre X más cinco X entre x A la diez tres x a la diez partido por X a la diez. Qué ocurre cuando yo divido por X a la cinco? Pues ocurre lo siguiente que aquí hay términos que se simplifican. Por tanto, tendré el límite con X esté de infinito. Aquí tendré cinco, pero aquí ya tendré. Fijaros si esos términos se van y ese camino se va. Por lo tanto, tendré raíz de tres menos cuatro partido por X a la ocho y aquí tengo tres entre X más raíz de cinco partido por X a la nueve más tres porque los términos se han simplificado. Ahora, cuando vuelvo a hacer el límite, lo que ocurre es que este término de aquí se va a cero. Ese término de aquí se va a cero y ese término de aquí se va a cero porque tengo un número entre infinito. Por tanto, lo que obtengo es cinco más raíz de tres dividido por raíz de tres. Ese sería el valor del límite en este caso. Vale. Y finalmente vamos con otro ejemplo. En este caso tenemos límite cuando dicen de infinito de lo mismo, infinito entre infinito. Pero aquí fijaos que tengo grado tres grado tres no? Y el denominador Tengo grado tres y aquí fijaros que tengo red cuadrada de X a las siete. Por tanto, es como si tuviera esto de aquí. Es como si tuviera grado tres. Coma cinco, porque estoy haciendo como siete medios, no? Al simplificar es grado tres, Coma cinco. Es decir, que el denominador tiene un grado superior al numerador. Es decir, que esto va a tender hacia cero directamente.

El texto explica el cálculo de límites cuando \(x\) tiende a infinito, especialmente en situaciones de indeterminación del tipo \(\infty/\infty\). Se detalla cómo abordar estos casos, dividiendo el problema en diferentes escenarios según el tipo de funciones (polinomios, logaritmos, exponenciales) involucradas y su orden. Se enfatiza la importancia de determinar el grado de las funciones para resolver la indeterminación, presentando ejemplos concretos que ilustran el proceso de simplificación y cálculo del límite.1. **Polinomios de igual grado**: Al enfrentarse a un límite donde tanto el numerador como el denominador son polinomios del mismo grado, se divide cada término por el grado mayor de \(x\). Esto generalmente conduce a simplificaciones que permiten resolver el límite, resultando en la división de los coeficientes de mayor grado.2. **Cuando los grados son distintos**: Si el grado del polinomio en el numerador es diferente al del denominador, el resultado del límite puede ser infinito o cero, dependiendo de cuál sea mayor.3. **Raíces**: El manejo de límites con raíces cuadradas se aborda considerando el grado efectivo de los términos bajo la raíz. Se deben ajustar las divisiones de acuerdo con el índice de la raíz para simplificar correctamente y determinar el límite.4. **Ejemplos prácticos**: Se proporcionan ejemplos detallados que muestran cómo aplicar estas técnicas para calcular límites específicos, incluyendo cómo ajustar la operación cuando se incluyen raíces cuadradas y cómo determinar el valor de una variable para que el límite cumpla con una condición dada, como ser cero.5. **Ejercicios resueltos**: A través de ejercicios prácticos, se demuestra cómo dividir por el grado mayor de \(x\) en el contexto de polinomios y cómo manejar términos que tienden a cero al calcular el límite, proporcionando claridad sobre el proceso de resolución y la lógica

Cálculo de límites: polinomios y raíces - Ejemplos y técnicas.

Cálculo de límites: polinomios y raíces - Ejemplos y técnicas.

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