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Santi

Video en el que se muestran el cálculo de máximos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. 

Encontrar extremos relativos

1.1 Máximos y mínimos relativos.mp4

Inés

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Matemáticas II | Selectividad

Tema 3. Aplicaciones de las derivadas

Hola, qué tal? Cómo estáis? Bienvenidos a Yuka Dami y a este nuevo vídeo donde vamos a ver las aplicaciones de la derivada. En concreto, el estudio del local de una función en un punto. Es decir, vamos a ver si podemos encontrar máximos y mínimos relativos entre una función. Venga, vamos a por el bien por su interés en este vídeo encontrar sobre todo los extremos relativos de una función, porque es una de las aplicaciones importantes de la derivada. Pero antes de nada vamos a hacer una breve introducción de qué otras aplicaciones tiene la función derivada? Bien, ya sabemos que la función derivada nos proporciona el signo de crecimiento de crecimiento de la función, es decir, si la función crece o decrece. Esto implica que la derivada puede ser positiva o negativa. También la derivada nos va a producir el cambio instantáneo, no? Que tiene la función en cada valor que estoy que estoy observando. Por ejemplo, si tengo una función, en este caso de varias variables, observar las derivadas de esta función podría permitirme encontrar máximos locales de una función. En este caso ya no función con varias variables, pero no solamente el estudio de máximos y mínimos locales, sino que la derivada nos proporciona herramientas muy potentes para controlar el movimiento de objetos. Cuando estoy, por ejemplo, en física, tratando objetos que se mueven, no que están en movimiento, ya sabemos que la derivada de la posición de ese objeto nos da la velocidad y la derivada de la velocidad nos da la aceleración. Por tanto, la función derivada es súper importante para la física, no solo para la física, sino también para la economía, para analizar los costos, beneficios, ingresos dependiendo de la producción que voy variando. Cómo estos costos pueden ir variando. Aquí tenéis un pequeño gráfico donde aparecen diferentes elementos económicos relacionados. Es decir, que la derivada aquí también es muy importante. Pero bien, centrémonos en lo que vamos a tratar en este tema, que son los máximos y mínimos relativos máximos y mínimos relativos. Son puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Aquí tenemos un máximo relativo. En este punto de aquí no tendríamos un máximo relativo. En este punto de aquí tendríamos un mínimo relativo. Qué ocurre con la función? Pues que en estos valores la función pasa de ser creciente a decreciente o al revés, cuando hablamos de máximos y mínimos relativos, estamos hablando siempre de funciones continuas, Claro. Cuando la función es creciente, la derivada es positiva. Aquí la derivada va a ser positiva en todo este intervalo. En cambio, en este intervalo de aquí, donde la función es decreciente en todo este intervalo, la derivada va a ser negativa. Conocer el signo de la derivada nos facilita saber si una función es creciente o decreciente y por tanto, en definitiva, saber si tiene máximos o mínimos relativos. Por tanto, nos vamos a centrar a partir de ahora en encontrar estos máximos y mínimos relativos. Es decir, vamos a encontrar puntos donde la derivada de cero, pero donde haya un cambio de crecimiento a de crecimiento, qué puede pasar? Que cuando hagamos derivada igual a cero también nos de puntos. Con que sean puntos de inflexión plano tendremos que separarlos de máximos y mínimos. Y para hacer eso tendremos que representarlos en la recta de números reales y ver exactamente en el entorno qué es lo que está ocurriendo. Venga, vamos a ver algunos ejemplos que nos pueden ilustrar todo esto que estamos diciendo. Venga, empezamos con el primer ejemplo. Fijaros esta función que voy a encontrar máximos y mínimos relativos. Lo primero que hago es hacer la derivada. En este caso, la derivada sería cuatro x a la tres menos cuatro X igual o a cero para encontrar puntos donde la derivada vale cero. Es decir, la retra tangente es horizontal. En este caso puedo sacar factor común cuatro x y obtengo dos ecuaciones. La primera me permite la solución X igual a cero. La segunda me permite la solución uno y menos uno. Por tanto, vamos a estudiar qué ocurre en el uno, en el menos uno y en el cero, sobre todo en el Inter, en los entornos de estos valores. Porque en estos tres valores yo sé que la derivada vale cero. Aquí la derivada vale cero. Por tanto, fuera de estos valores, la derivada valdrá positiva o negativa. Claro, siempre que la derivada sea positiva, será función creciente. Si la derivada es negativa, será función decreciente. Por tanto, lo que hago es coger valores intermedios. Por ejemplo, puedo coger el menos dos menos un medio, un medio y el dos, por ejemplo, esos valores y comprobar la primera derivada. Qué signo tiene la primera derivada es esta expresión de aquí Por tanto, sustituyo estos valores en la primera derivada y observo que en el menos dos, cuando sustituyo, me da un valor negativo. Por tanto, significa que esto es decreciente en el menos un medio, en cambio, me da un valor positivo. Por tanto, eso significa que en el menos uno es un mínimo relativo. Qué ocurre en el un medio? Un medio? Si sustituyo en un medio también me va a dar un valor negativo. Por tanto, en el X, igual a cero es un máximo relativo. Y si sustituyo por dos en la derivada, observo que me da un valor positivo. Por tanto, la función aquí está creciente. Es decir, que en el X igual a uno tenga un mínimo relativo. Saber si hay un mínimo máximo relativo es muy interesante, porque esto me permite, evidentemente, de saber cuando está creciendo o decreciendo la función. Si quiero encontrar los intervalos de crecimiento, es decir, y de crecimiento, intervalos de monotonía. Simplemente me observo Cuando crece, decrece esta función cuando crece, pues esta función está creciendo desde el menos uno hasta el cero Unión desde el uno hasta el mes infinito. Son intervalos siempre de la X y son intervalos que siempre se ponen abiertos cuando decrece, pues decrece en este caso desde menos infinito, menos uno unión desde el cero hasta uno. En este caso, decrece en estos valores siempre son intervalos abiertos y y contienen los valores donde la función está creciendo o decreciendo. Venga, vayamos con otro ejemplo, pero nos fijamos antes de nada en esta función racional que tenemos dos valores donde el dominio no existe, no está definido, que son dos y menos dos. Hay que tener cuidado porque cuando las funciones son racionales, estos dos valores los tenemos que tener en cuenta para el estudio posterior. Vale, lo primero que hago es derivar por tanto, la derivada será la regla de la división derivada del numerador por la segunda, sin derivar menos la primera sin derivar por dos x dividido por x al cuadrado, menos cuatro al cuadrado. Vale, simplificó el numerador que queda X al cuadrado menos cuatro menos los x al cuadrado más seis X. Cuidado con este, con esa expresión. No nos equivoquemos de signo simplificó. Me quedará menos X al cuadrado más x x menos cuatro dividido por x al cuadrado menos cuatro al cuadrado. Muy bien, ahora tengo que igualar a cero la derivada, igual que antes, no para poder ver si hay máximos o mínimos. Por tanto, lo que hago es resolver esta ecuación con la fórmula. Por tanto utilizo menos seis más, menos no. La fli quedaría raíz cuadrada de red cuadrada de dieciséis. Perdonad que he puesto un veinte muy rápido. Esto daría dieciséis. Por tanto sería red cuadrada de veinte red cuadrada de veinte es veinte, es cuatro por cinco. Por lo tanto sería dos raíz cuadrada de cinco. Y eso significa que si simplificó tengo tres más, menos red cuadrada de cinco. Fijaros que seis entre dos es tres menos. Entre menos es más y dos entre dos es uno. Por tanto, tengo estos dos valores aquí. Claro. Qué ocurre? Que fijaros que estos dos valores uno es éste, que es tres menos red de cinco Y el otro valor es este de aquí tres más raíz de cinco. Aquí en el estudio de crecimiento y de crecimiento hemos de tener en cuenta el menos dos y el dos que antes hemos detectado. Por tanto, deberíamos observar coger el cero siempre de referencia. En este caso tendríamos el menos dos. Tendríamos el dos aquí en medio hemos de colocar el tres menos red cinco y aquí tendríamos el tres más raíz de cinco y hacer lo mismo. Es decir, coger valores intermedios de la función y observar que está pasando. Si sustituimos por valores intermedios, es evidente que aquí de crecería aquí también entre entre el cero y el menos treinta y cinco también está decreciendo. Aquí está creciendo y a partir del dos también está creciendo Y aquí está decreciendo. Lo he hecho un poquito más rápido porque simplemente me he fijado en el gráfico, pero lo que haríamos sería coger valores, sustituir y ver el resultado de la primera derivada. Por tanto, cuando crece esta función, pues esta función está creciendo desde el menos tres, tres menos red de cinco, justamente hasta el dos Unión desde el dos hasta el tres, raíz de cinco cuando decrece, pues esta función está decreciendo desde el menos infinito hasta el menos dos. Hemos de separarlo desde el menos dos hasta el tres menos red de cinco y y luego también decrece desde el tres red de cinco hasta el más infinito. Vale, que son ya los intervalos donde la función crece o decrece. Venga vayamos con este tercer ejemplo. Fijaros que aquí también tenemos un valor donde anula el denominador logaritmo de X. Si es igual a cero, significa que la X es igual a uno. Por tanto, el valor del uno no lo hemos de separar de mi estudio. Pero bueno, lo que hago primero es derivar deriva a la función. Sería derivado a la primera, que es uno por la segunda se derivar menos X por uno entre X divido entre el logaritmo al cuadrado, simplificó la expresión quedaría el logaritmo de de X menos uno entre el organismo del cuadrado de X y ahora igual a cero. La derivada, si la derivada la igual a cero. Me queda que el oga de X es igual a uno con que la X es igual al número e porque elevado a uno va a ser igual a la X. Qué significa? Significa que en mi estudio no, aquí tengo el cero. Fijaros que el dominio de esta función comienza a partir del cero, porque el logaritmo sólo tiene sentido a partir del cero. El uno lo tengo que sacar porque es una discontinuidad. Y aquí tengo que colocar el valor de e claro Si yo cojo valores entre cero y uno me doy cuenta que el numerador es positivo. No? Bueno, mi la de la mira lo tengo que mirar La derivada no. Si cojo valores entre cero y uno observo que me da negativo, porque el numerador es negativo. El denominador es positivo. Valores entre uno y E. Por ejemplo, si cojo el valor dos no, también me dan valores negativos, pero a partir del valor e me dan valores positivos. Por tanto, tengo un mínimo relativo en X igual a E. Para ver el signo de esos valores cojo valores intermedios, sustituyo la derivada y veo el signo que tienen en en esta función. Por tanto, efectivamente no. Aquí tenéis el gráfico. Aquí tendríamos el punto, el punto E que vendría aquí, no? Que sería donde está el mínimo relativo. Y tendríamos que esta función crece justamente desde el valor e hasta el más infinito. Y decrece justamente desde el cero hasta el número uno. Unión desde el uno hasta el número e. Es decir, que en los intervalos de crecimiento y de crecimiento, aquí tengo que tener en cuenta también las discontinuidades

El vídeo de Yuka Dami se enfoca en explicar las aplicaciones de la derivada, centrándose en cómo identificar máximos y mínimos relativos en funciones. Se inicia destacando que la derivada es crucial para determinar el crecimiento de una función y su cambio instantáneo, lo que la hace indispensable no solo en matemáticas para encontrar puntos críticos en funciones, sino también en física y economía por su capacidad para analizar movimiento y variaciones económicas respectivamente.Se explica que los máximos y mínimos relativos ocurren en puntos donde la función cambia su dirección de crecimiento, siendo estos identificables por el signo de la derivada: positivo indica crecimiento y negativo, decrecimiento. Para encontrar estos puntos, se busca donde la derivada sea cero y se analiza el cambio en el signo de la derivada alrededor de estos puntos.A través de ejemplos, se muestra el proceso de derivación y cómo evaluar los signos de la derivada para clasificar los puntos críticos encontrados como máximos o mínimos relativos. También se analizan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función basándose en el signo de la derivada en diferentes regiones.Los ejemplos incluyen:1. Una función polinómica, donde se identifican máximos y mínimos mediante la factorización de su derivada.2. Una función racional, considerando las discontinuidades en el dominio de la función.3. Una función que incluye un logaritmo, donde se destaca la importancia de considerar el dominio válido para la derivada.Este enfoque metodológico enfatiza la importancia de la derivada para entender el comportamiento de las funciones, ofreciendo una herramienta fundamental para el análisis matemático en diversas áreas.

Aplicaciones de la derivada: máximos y mínimos relativos

Resumen con marca de tiempo

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